Kalkulus Contoh

$y = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$

Langkah 1

Tetapkan $y$ sebagai fungsi dari $x$ .

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$

Langkah 2

Tentukan turunannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 5$ .

$3 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 + 0$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $3 x^{2} - 10 x + 3$ dan $0$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3$

Langkah 3

Atur turunan tersebut ahar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $3 x^{2} - 10 x + 3 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 3 \cdot 3 = 9$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1

Faktorkan $- 10$ dari $- 10 x$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 = 0$

Langkah 3.1.1.2

Tulis kembali $- 10$ sebagai $- 1$ ditambah $- 9$

$3 x^{2} + (- 1 - 9) x + 3 = 0$

Langkah 3.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$3 x^{2} - 1 x - 9 x + 3 = 0$

Langkah 3.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(3 x^{2} - 1 x) - 9 x + 3 = 0$

Langkah 3.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$x (3 x - 1) - 3 (3 x - 1) = 0$

Langkah 3.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x - 3) = 0$

Langkah 3.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Langkah 3.3

Atur $3 x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Atur $3 x - 1$ sama dengan $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Langkah 3.3.2

Selesaikan $3 x - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$3 x = 1$

Langkah 3.3.2.2

Bagi setiap suku pada $3 x = 1$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $3 x = 1$ dengan $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Langkah 3.3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Langkah 3.3.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Langkah 3.4

Atur $x - 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Atur $x - 3$ sama dengan $0$ .

$x - 3 = 0$

Langkah 3.4.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 3$

Langkah 3.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(3 x - 1) (x - 3) = 0$ benar.

$x = \frac{1}{3}, 3$

Langkah 4

Selesaikan fungsi asal $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$ pada $x = \frac{1}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{1}{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{1}{3}) = {(\frac{1}{3})}^{3} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Langkah 4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1^{3}}{3^{3}} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Langkah 4.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3^{3}} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Langkah 4.2.1.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Langkah 4.2.1.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 5 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Langkah 4.2.1.5

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 5 \frac{1}{3^{2}} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Langkah 4.2.1.6

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 5 (\frac{1}{9}) + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Langkah 4.2.1.7

Gabungkan $- 5$ dan $\frac{1}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{- 5}{9} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Langkah 4.2.1.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5}{9} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Langkah 4.2.1.9

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.9.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5}{9} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Langkah 4.2.1.9.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5}{9} + 1 + 1$

Langkah 4.2.2

Menentukan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Kalikan $\frac{5}{9}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - (\frac{5}{9} \cdot \frac{3}{3}) + 1 + 1$

Langkah 4.2.2.2

Kalikan $\frac{5}{9}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + 1 + 1$

Langkah 4.2.2.3

Tulis $1$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{1} + 1$

Langkah 4.2.2.4

Kalikan $\frac{1}{1}$ dengan $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{27}{27} + 1$

Langkah 4.2.2.5

Kalikan $\frac{1}{1}$ dengan $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + 1$

Langkah 4.2.2.6

Tulis $1$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + \frac{1}{1}$

Langkah 4.2.2.7

Kalikan $\frac{1}{1}$ dengan $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + \frac{1}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Langkah 4.2.2.8

Kalikan $\frac{1}{1}$ dengan $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + \frac{27}{27}$

Langkah 4.2.2.9

Susun kembali faktor-faktor dari $9 \cdot 3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27} + \frac{27}{27}$

Langkah 4.2.2.10

Kalikan $3$ dengan $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{27} + \frac{27}{27} + \frac{27}{27}$

Langkah 4.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 5 \cdot 3 + 27 + 27}{27}$

Langkah 4.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.1

Kalikan $- 5$ dengan $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 15 + 27 + 27}{27}$

Langkah 4.2.4.2

Kurangi $15$ dengan $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 14 + 27 + 27}{27}$

Langkah 4.2.4.3

Tambahkan $- 14$ dan $27$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{13 + 27}{27}$

Langkah 4.2.4.4

Tambahkan $13$ dan $27$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{40}{27}$

Langkah 4.2.5

Jawaban akhirnya adalah $\frac{40}{27}$ .

$\frac{40}{27}$

Langkah 5

Selesaikan fungsi asal $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$ pada $x = 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f (3) = {(3)}^{3} - 5 {(3)}^{2} + 3 (3) + 1$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$f (3) = 27 - 5 {(3)}^{2} + 3 (3) + 1$

Langkah 5.2.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f (3) = 27 - 5 \cdot 9 + 3 (3) + 1$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan $- 5$ dengan $9$ .

$f (3) = 27 - 45 + 3 (3) + 1$

Langkah 5.2.1.4

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$f (3) = 27 - 45 + 9 + 1$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Kurangi $45$ dengan $27$ .

$f (3) = - 18 + 9 + 1$

Langkah 5.2.2.2

Tambahkan $- 18$ dan $9$ .

$f (3) = - 9 + 1$

Langkah 5.2.2.3

Tambahkan $- 9$ dan $1$ .

$f (3) = - 8$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 8$ .

$- 8$

Langkah 6

Garis tangen datar pada fungsi $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$ adalah $y = \frac{40}{27}, y = - 8$ .

$y = \frac{40}{27}, y = - 8$

Langkah 7