Kalkulus Contoh

$f (x) = x \ln (x^{2})$

Langkah 1

Tentukan turunannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \ln (x^{2})$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$x (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Gabungkan $\frac{1}{x^{2}}$ dan $x$ .

$\frac{x}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{1}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.3.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.2.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{x} (2 x) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.4

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2}{x} x + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.4.2

Gabungkan $\frac{2}{x}$ dan $x$ .

$\frac{2 x}{x} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{x} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.4.3.2

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$2 + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 + \ln (x^{2}) \cdot 1$

Langkah 1.3.6

Kalikan $\ln (x^{2})$ dengan $1$ .

$2 + \ln (x^{2})$

Langkah 2

Atur turunan tersebut ahar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $2 + \ln (x^{2}) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\ln (x^{2}) = - 2$

Langkah 2.2

Untuk menyelesaikan $x$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (x^{2})} = e^{- 2}$

Langkah 2.3

Tulis kembali $\ln (x^{2}) = - 2$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- 2} = x^{2}$

Langkah 2.4

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $x^{2} = e^{- 2}$ .

$x^{2} = e^{- 2}$

Langkah 2.4.2

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{e^{- 2}}$

Langkah 2.4.3

Sederhanakan $\pm \sqrt{e^{- 2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.3.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{e^{2}}}$

Langkah 2.4.3.2

Tulis kembali $\sqrt{\frac{1}{e^{2}}}$ sebagai $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e^{2}}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e^{2}}}$

Langkah 2.4.3.3

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{e^{2}}}$

Langkah 2.4.3.4

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm \frac{1}{e}$

Langkah 2.4.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \frac{1}{e}$

Langkah 2.4.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \frac{1}{e}$

Langkah 2.4.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \frac{1}{e}, - \frac{1}{e}$

Langkah 3

Selesaikan fungsi asal $f (x) = x \ln (x^{2})$ pada $x = \frac{1}{e}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{1}{e}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{1}{e}) = (\frac{1}{e}) \ln ({(\frac{1}{e})}^{2})$

Langkah 3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{e}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1^{2}}{e^{2}})$

Langkah 3.2.2

Pindahkan $e^{2}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (1^{2} e^{- 2})$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali $\ln (1^{2} e^{- 2})$ sebagai $\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2})$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2}))$

Langkah 3.2.4

Gunakan aturan logaritma untuk memindahkan $- 2$ keluar dari eksponen.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \ln (e))$

Langkah 3.2.5

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \cdot 1)$

Langkah 3.2.6

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2)$

Langkah 3.2.7

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.7.1

Perluas $\ln (1^{2})$ dengan memindahkan $2$ ke luar logaritma.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (2 \ln (1) - 2)$

Langkah 3.2.7.2

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (2 \cdot 0 - 2)$

Langkah 3.2.7.3

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (0 - 2)$

Langkah 3.2.8

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.1

Kurangi $2$ dengan $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot - 2$

Langkah 3.2.8.2

Gabungkan $\frac{1}{e}$ dan $- 2$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{- 2}{e}$

Langkah 3.2.8.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (\frac{1}{e}) = - \frac{2}{e}$

Langkah 3.2.9

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{2}{e}$ .

$- \frac{2}{e}$

Langkah 4

Selesaikan fungsi asal $f (x) = x \ln (x^{2})$ pada $x = - \frac{1}{e}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ganti variabel $x$ dengan $- \frac{1}{e}$ pada pernyataan tersebut.

$f (- \frac{1}{e}) = (- \frac{1}{e}) \ln ({(- \frac{1}{e})}^{2})$

Langkah 4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{1}{e}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{e})}^{2})$

Langkah 4.2.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{e}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{e^{2}}))$

Langkah 4.2.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln (1 (\frac{1^{2}}{e^{2}}))$

Langkah 4.2.3

Kalikan $\frac{1^{2}}{e^{2}}$ dengan $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1^{2}}{e^{2}})$

Langkah 4.2.4

Pindahkan $e^{2}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln (1^{2} e^{- 2})$

Langkah 4.2.5

Tulis kembali $\ln (1^{2} e^{- 2})$ sebagai $\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2})$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2}))$

Langkah 4.2.6

Gunakan aturan logaritma untuk memindahkan $- 2$ keluar dari eksponen.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \ln (e))$

Langkah 4.2.7

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \cdot 1)$

Langkah 4.2.8

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2)$

Langkah 4.2.9

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.9.1

Perluas $\ln (1^{2})$ dengan memindahkan $2$ ke luar logaritma.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (2 \ln (1) - 2)$

Langkah 4.2.9.2

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (2 \cdot 0 - 2)$

Langkah 4.2.9.3

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (0 - 2)$

Langkah 4.2.10

Kurangi $2$ dengan $0$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot - 2$

Langkah 4.2.11

Kalikan $- \frac{1}{e} \cdot - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.11.1

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = 2 (\frac{1}{e})$

Langkah 4.2.11.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{e}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = \frac{2}{e}$

Langkah 4.2.12

Jawaban akhirnya adalah $\frac{2}{e}$ .

$\frac{2}{e}$

Langkah 5

Garis tangen datar pada fungsi $f (x) = x \ln (x^{2})$ adalah $y = - \frac{2}{e}, y = \frac{2}{e}$ .

$y = - \frac{2}{e}, y = \frac{2}{e}$

Langkah 6