Kalkulus Contoh

$y = x^{4} - 2 x + 1$

Langkah 1

Tetapkan $y$ sebagai fungsi dari $x$ .

$f (x) = x^{4} - 2 x + 1$

Langkah 2

Tentukan turunannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} - 2 x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 x^{3} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.2.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$4 x^{3} - 2 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$4 x^{3} - 2 + 0$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $4 x^{3} - 2$ dan $0$ .

$4 x^{3} - 2$

Langkah 3

Atur turunan tersebut ahar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $4 x^{3} - 2 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$4 x^{3} = 2$

Langkah 3.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$4 x^{3} - 2 = 0$

Langkah 3.3

Faktorkan $2$ dari $4 x^{3} - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Faktorkan $2$ dari $4 x^{3}$ .

$2 (2 x^{3}) - 2 = 0$

Langkah 3.3.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$2 (2 x^{3}) + 2 (- 1) = 0$

Langkah 3.3.3

Faktorkan $2$ dari $2 (2 x^{3}) + 2 (- 1)$ .

$2 (2 x^{3} - 1) = 0$

Langkah 3.4

Bagi setiap suku pada $2 (2 x^{3} - 1) = 0$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Bagilah setiap suku di $2 (2 x^{3} - 1) = 0$ dengan $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (2 x^{3} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 3.4.2.1.2

Bagilah $2 x^{3} - 1$ dengan $1$ .

$2 x^{3} - 1 = \frac{0}{2}$

Langkah 3.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$2 x^{3} - 1 = 0$

Langkah 3.5

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$2 x^{3} = 1$

Langkah 3.6

Bagi setiap suku pada $2 x^{3} = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Bagilah setiap suku di $2 x^{3} = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 3.6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 3.6.2.1.2

Bagilah $x^{3}$ dengan $1$ .

$x^{3} = \frac{1}{2}$

Langkah 3.7

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$

Langkah 3.8

Sederhanakan $\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Tulis kembali $\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ sebagai $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{2}}$

Langkah 3.8.2

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

Langkah 3.8.3

Kalikan $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ dengan $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Langkah 3.8.4

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.4.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ dengan $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Langkah 3.8.4.2

Naikkan $\sqrt[3]{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Langkah 3.8.4.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Langkah 3.8.4.4

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Langkah 3.8.4.5

Tulis kembali ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.4.5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Langkah 3.8.4.5.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Langkah 3.8.4.5.3

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $3$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Langkah 3.8.4.5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.4.5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Langkah 3.8.4.5.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Langkah 3.8.4.5.5

Evaluasi eksponennya.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Langkah 3.8.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.5.1

Tulis kembali ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ sebagai $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Langkah 3.8.5.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$

Langkah 4

Selesaikan fungsi asal $f (x) = x^{4} - 2 x + 1$ pada $x = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = {(\frac{\sqrt[3]{4}}{2})}^{4} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Langkah 4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{{\sqrt[3]{4}}^{4}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Langkah 4.2.1.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.2.1

Tulis kembali ${\sqrt[3]{4}}^{4}$ sebagai $\sqrt[3]{4^{4}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4^{4}}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Langkah 4.2.1.2.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{256}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Langkah 4.2.1.2.3

Tulis kembali $256$ sebagai $4^{3} \cdot 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.2.3.1

Faktorkan $64$ dari $256$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{64 (4)}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Langkah 4.2.1.2.3.2

Tulis kembali $64$ sebagai $4^{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4^{3} \cdot 4}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Langkah 4.2.1.2.4

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 \sqrt[3]{4}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Langkah 4.2.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 \sqrt[3]{4}}{16} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Langkah 4.2.1.4

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $4 \sqrt[3]{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 (\sqrt[3]{4})}{16} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Langkah 4.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.4.2.1

Faktorkan $4$ dari $16$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 \sqrt[3]{4}}{4 \cdot 4} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Langkah 4.2.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 \sqrt[3]{4}}{4 \cdot 4} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Langkah 4.2.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Langkah 4.2.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.5.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} + 2 (- 1) (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) + 1$

Langkah 4.2.1.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} + 2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt[3]{4}}{2}) + 1$

Langkah 4.2.1.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} - 1 \sqrt[3]{4} + 1$

Langkah 4.2.1.6

Tulis kembali $- 1 \sqrt[3]{4}$ sebagai $- \sqrt[3]{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} - \sqrt[3]{4} + 1$

Langkah 4.2.2

Untuk menuliskan $- \sqrt[3]{4}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} - \sqrt[3]{4} \cdot \frac{4}{4} + 1$

Langkah 4.2.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Gabungkan $- \sqrt[3]{4}$ dan $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} + \frac{- \sqrt[3]{4} \cdot 4}{4} + 1$

Langkah 4.2.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{4} \cdot 4}{4} + 1$

Langkah 4.2.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.1.1

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4} - 4 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

Langkah 4.2.4.1.2

Kurangi $4 \sqrt[3]{4}$ dengan $\sqrt[3]{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

Langkah 4.2.4.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

Langkah 4.2.5

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$ .

$- \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

Langkah 5

Garis tangen datar pada fungsi $f (x) = x^{4} - 2 x + 1$ adalah $y = - \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$ .

$y = - \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$y = - \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

Bentuk Desimal:

$y = - 0.19055078 \dots$

Langkah 7