Kalkulus Contoh

$y^{6} + x^{3} = y^{2} + 12 x$

Langkah 1

Set each solution of $y^{6} + x^{3}$ as a function of $x$ .

$y = y^{2} + 12 x \to f (x) = y^{2} + 12 x$

Langkah 2

Because the $y$ variable in the equation $y^{6} + x^{3} = y^{2} + 12 x$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y^{6} + x^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{2} + 12 x)$

Langkah 2.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{6} + x^{3}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [y^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{6}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{6}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.2.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 6$ .

$6 u^{5} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.2.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$6 y^{5} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.2.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$6 y^{5} y' + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$6 y^{5} y' + 3 x^{2}$

Langkah 2.2.3.2

Susun kembali suku-suku.

$3 x^{2} + 6 y^{5} y'$

Langkah 2.3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{2} + 12 x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Langkah 2.3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Langkah 2.3.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Langkah 2.3.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Langkah 2.3.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [12 x]$

Langkah 2.3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $12 x$ terhadap $x$ adalah $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 y y' + 12 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 y y' + 12 \cdot 1$

Langkah 2.3.3.3

Kalikan $12$ dengan $1$ .

$2 y y' + 12$

Langkah 2.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$3 x^{2} + 6 y^{5} y' = 2 y y' + 12$

Langkah 2.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Kurangkan $2 y y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 x^{2} + 6 y^{5} y' - 2 y y' = 12$

Langkah 2.5.2

Kurangkan $3 x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$6 y^{5} y' - 2 y y' = 12 - 3 x^{2}$

Langkah 2.5.3

Faktorkan $2 y y'$ dari $6 y^{5} y' - 2 y y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.3.1

Faktorkan $2 y y'$ dari $6 y^{5} y'$ .

$2 y y' (3 y^{4}) - 2 y y' = 12 - 3 x^{2}$

Langkah 2.5.3.2

Faktorkan $2 y y'$ dari $- 2 y y'$ .

$2 y y' (3 y^{4}) + 2 y y' \cdot - 1 = 12 - 3 x^{2}$

Langkah 2.5.3.3

Faktorkan $2 y y'$ dari $2 y y' (3 y^{4}) + 2 y y' \cdot - 1$ .

$2 y y' (3 y^{4} - 1) = 12 - 3 x^{2}$

Langkah 2.5.4

Bagi setiap suku pada $2 y y' (3 y^{4} - 1) = 12 - 3 x^{2}$ dengan $2 y (3 y^{4} - 1)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.1

Bagilah setiap suku di $2 y y' (3 y^{4} - 1) = 12 - 3 x^{2}$ dengan $2 y (3 y^{4} - 1)$ .

$\frac{2 y y' (3 y^{4} - 1)}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Langkah 2.5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y y' (3 y^{4} - 1)}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Langkah 2.5.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y y' (3 y^{4} - 1)}{y (3 y^{4} - 1)} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Langkah 2.5.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y y' (3 y^{4} - 1)}{y (3 y^{4} - 1)} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Langkah 2.5.4.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (3 y^{4} - 1)}{3 y^{4} - 1} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Langkah 2.5.4.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3 y^{4} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (3 y^{4} - 1)}{3 y^{4} - 1} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Langkah 2.5.4.2.3.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Langkah 2.5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $12$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.3.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $12$ .

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Langkah 2.5.4.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.3.1.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 y (3 y^{4} - 1)$ .

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 (y (3 y^{4} - 1))} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Langkah 2.5.4.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 (y (3 y^{4} - 1))} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Langkah 2.5.4.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Langkah 2.5.4.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Langkah 2.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Langkah 3

Atur turunan tersebut ahar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kurangkan $\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = - \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$

Langkah 3.2

Bagi setiap suku pada $- \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = - \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Bagilah setiap suku di $- \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = - \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}}{- 1} = \frac{- \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}}{- 1}$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}}{1} = \frac{- \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}}{- 1}$

Langkah 3.2.2.2

Bagilah $\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$ dengan $1$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{- \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}}{- 1}$

Langkah 3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}}{1}$

Langkah 3.2.3.2

Bagilah $\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ dengan $1$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$

Langkah 3.3

Kalikan kedua ruas dengan $2 y (3 y^{4} - 1)$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Langkah 3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Sederhanakan $\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$2 \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Langkah 3.4.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 y (3 y^{4} - 1)$ .

$2 \frac{3 x^{2}}{2 (y (3 y^{4} - 1))} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Langkah 3.4.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{3 x^{2}}{2 (y (3 y^{4} - 1))} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Langkah 3.4.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 x^{2}}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Langkah 3.4.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y (3 y^{4} - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x^{2}}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Langkah 3.4.1.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$3 x^{2} = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Sederhanakan $\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$3 x^{2} = 2 \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1))$

Langkah 3.4.2.1.2

Kalikan $2 \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ .

$3 x^{2} = \frac{2 \cdot 6}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1))$

Langkah 3.4.2.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$3 x^{2} = \frac{12}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1))$

Langkah 3.4.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y (3 y^{4} - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 x^{2} = \frac{12}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1))$

Langkah 3.4.2.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$3 x^{2} = 12$

Langkah 3.5

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Bagi setiap suku pada $3 x^{2} = 12$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.1

Bagilah setiap suku di $3 x^{2} = 12$ dengan $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Langkah 3.5.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Langkah 3.5.1.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{3}$

Langkah 3.5.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.3.1

Bagilah $12$ dengan $3$ .

$x^{2} = 4$

Langkah 3.5.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Langkah 3.5.3

Sederhanakan $\pm \sqrt{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Langkah 3.5.3.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 2$

Langkah 3.5.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 2$

Langkah 3.5.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 2$

Langkah 3.5.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 2, - 2$

Langkah 4

Solve the function $f (x) = y^{2} + 12 x$ at $x = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f (2) = y^{2} + 12 (2)$

Langkah 4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kalikan $12$ dengan $2$ .

$f (2) = y^{2} + 24$

Langkah 4.2.2

Jawaban akhirnya adalah $y^{2} + 24$ .

$y^{2} + 24$

Langkah 5

Solve the function $f (x) = y^{2} + 12 x$ at $x = - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 2) = y^{2} + 12 (- 2)$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kalikan $12$ dengan $- 2$ .

$f (- 2) = y^{2} - 24$

Langkah 5.2.2

Jawaban akhirnya adalah $y^{2} - 24$ .

$y^{2} - 24$

Langkah 6

The horizontal tangent lines are $y = y^{2} + 24, y = y^{2} - 24$

$y = y^{2} + 24, y = y^{2} - 24$

Langkah 7