Kalkulus Contoh

y^{2} - x y - 12 = 0

$y^{2} - x y - 12 = 0$

Langkah 1

Solve the equation as

y

$y$ in terms of

x

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 1.2

Substitusikan nilai-nilai

a = 1

$a = 1$ ,

b = - x

$b = - x$ , dan

c = - 12

$c = - 12$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan

y

$y$ .

\frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 12)}}{2 \cdot 1}

$\frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 12)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke

- x

$- x$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.3.1.2

Naikkan

- 1

$- 1$ menjadi pangkat

2

$2$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.3.1.3

Kalikan

x^{2}

$x^{2}$ dengan

1

$1$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.3.1.4

Kalikan

- 4 \cdot 1 \cdot - 12

$- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.4.1

Kalikan

- 4

$- 4$ dengan

1

$1$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.3.1.4.2

Kalikan

- 4

$- 4$ dengan

- 12

$- 12$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.3.2

Kalikan

2

$2$ dengan

1

$1$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Langkah 1.4

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian

$+$ dari

$\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke

$- x$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.4.1.2

Naikkan

$- 1$ menjadi pangkat

$2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.4.1.3

Kalikan

$x^{2}$ dengan

$1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.4.1.4

Kalikan

$- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.4.1

Kalikan

$- 4$ dengan

$1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.4.1.4.2

Kalikan

$- 4$ dengan

$- 12$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.4.2

Kalikan

$2$ dengan

$1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Langkah 1.4.3

Ubah

$\pm$ menjadi

$+$ .

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Langkah 1.5

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian

$-$ dari

$\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke

$- x$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.5.1.2

Naikkan

$- 1$ menjadi pangkat

$2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.5.1.3

Kalikan

$x^{2}$ dengan

$1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.5.1.4

Kalikan

$- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.4.1

Kalikan

$- 4$ dengan

$1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.5.1.4.2

Kalikan

$- 4$ dengan

$- 12$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.5.2

Kalikan

$2$ dengan

$1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Langkah 1.5.3

Ubah

$\pm$ menjadi

$-$ .

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Langkah 1.6

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Langkah 2

Set each solution of

$y$ as a function of

$x$ .

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2} \to f (x) = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2} \to f (x) = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Langkah 3

Because the

$y$ variable in the equation

$y^{2} - x y - 12 = 0$ has a degree greater than

$1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative

$\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y^{2} - x y - 12) = \frac{d}{d x} (0)$

Langkah 3.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari

$y^{2} - x y - 12$ terhadap (Variabel1) adalah

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Langkah 3.2.2

Evaluasi

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah

$f' (g (x)) g' (x)$ di mana

$f (x) = x^{2}$ dan

$g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur

$u$ sebagai

$y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Langkah 3.2.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah

$n u^{n - 1}$ di mana

$n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Langkah 3.2.2.1.3

Ganti semua kemunculan

$u$ dengan

$y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Langkah 3.2.2.2

Tulis kembali

$\frac{d}{d x} [y]$ sebagai

$y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Langkah 3.2.3

Evaluasi

$\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Karena

$- 1$ konstan terhadap

$x$ , turunan dari

$- x y$ terhadap

$x$ adalah

$- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 y y' - \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Langkah 3.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana

$f (x) = x$ dan

$g (x) = y$ .

$2 y y' - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Langkah 3.2.3.3

Tulis kembali

$\frac{d}{d x} [y]$ sebagai

$y'$ .

$2 y y' - (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Langkah 3.2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

$n x^{n - 1}$ di mana

$n = 1$ .

$2 y y' - (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Langkah 3.2.3.5

Kalikan

$y$ dengan

$1$ .

$2 y y' - (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Langkah 3.2.4

Karena

$- 12$ konstan terhadap

$x$ , turunan dari

$- 12$ terhadap

$x$ adalah

$0$ .

$2 y y' - (x y' + y) + 0$

Langkah 3.2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Terapkan sifat distributif.

$2 y y' - (x y') - y + 0$

Langkah 3.2.5.2

Tambahkan

$2 y y' - x y' - y$ dan

$0$ .

$2 y y' - x y' - y$

Langkah 3.3

Karena

$0$ konstan terhadap

$x$ , turunan dari

$0$ terhadap

$x$ adalah

$0$ .

$0$

Langkah 3.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$2 y y' - x y' - y = 0$

Langkah 3.5

Selesaikan

$y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Tambahkan

$y$ ke kedua sisi persamaan.

$2 y y' - x y' = y$

Langkah 3.5.2

Faktorkan

$y'$ dari

$2 y y' - x y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Faktorkan

$y'$ dari

$2 y y'$ .

$y' (2 y) - x y' = y$

Langkah 3.5.2.2

Faktorkan

$y'$ dari

$- x y'$ .

$y' (2 y) + y' (- x) = y$

Langkah 3.5.2.3

Faktorkan

$y'$ dari

$y' (2 y) + y' (- x)$ .

$y' (2 y - x) = y$

Langkah 3.5.3

Bagi setiap suku pada

$y' (2 y - x) = y$ dengan

$2 y - x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1

Bagilah setiap suku di

$y' (2 y - x) = y$ dengan

$2 y - x$ .

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{y}{2 y - x}$

Langkah 3.5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari

$2 y - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{y}{2 y - x}$

Langkah 3.5.3.2.1.2

Bagilah

$y'$ dengan

$1$ .

$y' = \frac{y}{2 y - x}$

Langkah 3.6

Ganti

$y'$ dengan

$\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 y - x}$

Langkah 4

The roots of the derivative

$\frac{y}{2 y - x}$ cannot be found.

No horizontal tangent lines

Langkah 5