Kalkulus Contoh

$x^{2} - x y + 2 y^{2} = 1$

Langkah 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} - x y + 2 y^{2} - 1 = 0$

Langkah 1.2

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 1.3

Substitusikan nilai-nilai $a = 2$ , $b = - x$ , dan $c = x^{2} - 1$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $y$ .

$\frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (x^{2} - 1))}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- x$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.4.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.4.1.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.4.1.4

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.4.1.5

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 x^{2} - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.4.1.6

Kalikan $- 8$ dengan $- 1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 x^{2} + 8}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.4.1.7

Kurangi $8 x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.4.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

Langkah 1.5

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- x$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.5.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.5.1.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.5.1.4

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.5.1.5

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 x^{2} - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.5.1.6

Kalikan $- 8$ dengan $- 1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 x^{2} + 8}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.5.1.7

Kurangi $8 x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.5.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

Langkah 1.5.3

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$y = \frac{x + \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

Langkah 1.6

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- x$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.6.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.6.1.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.6.1.4

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.6.1.5

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 x^{2} - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.6.1.6

Kalikan $- 8$ dengan $- 1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 x^{2} + 8}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.6.1.7

Kurangi $8 x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.6.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

Langkah 1.6.3

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$y = \frac{x - \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

Langkah 1.7

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$y = \frac{x + \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

$y = \frac{x - \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

$y = \frac{x + \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

$y = \frac{x - \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

Langkah 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{x + \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4} \to f (x) = \frac{x + \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

$y = \frac{x - \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4} \to f (x) = \frac{x - \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

Langkah 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} - x y + 2 y^{2} = 1$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - x y + 2 y^{2}) = \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 3.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - x y + 2 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Langkah 3.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Langkah 3.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x y$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Langkah 3.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$2 x - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Langkah 3.2.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x - (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Langkah 3.2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 x - (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Langkah 3.2.2.5

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$2 x - (x y' + y) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Langkah 3.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x - (x y' + y) + 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 3.2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$2 x - (x y' + y) + 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.2.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x - (x y' + y) + 2 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$2 x - (x y' + y) + 2 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x - (x y' + y) + 2 (2 y y')$

Langkah 3.2.3.4

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$2 x - (x y' + y) + 4 y y'$

Langkah 3.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$2 x - (x y') - y + 4 y y'$

Langkah 3.2.4.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$2 x - x y' - y + 4 y y'$

Langkah 3.2.4.3

Susun kembali suku-suku.

$- x y' + 4 y y' + 2 x - y$

Langkah 3.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 3.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$- x y' + 4 y y' + 2 x - y = 0$

Langkah 3.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.1

Kurangkan $2 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x y' + 4 y y' - y = - 2 x$

Langkah 3.5.1.2

Tambahkan $y$ ke kedua sisi persamaan.

$- x y' + 4 y y' = - 2 x + y$

Langkah 3.5.2

Faktorkan $y'$ dari $- x y' + 4 y y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Faktorkan $y'$ dari $- x y'$ .

$y' (- x) + 4 y y' = - 2 x + y$

Langkah 3.5.2.2

Faktorkan $y'$ dari $4 y y'$ .

$y' (- x) + y' (4 y) = - 2 x + y$

Langkah 3.5.2.3

Faktorkan $y'$ dari $y' (- x) + y' (4 y)$ .

$y' (- x + 4 y) = - 2 x + y$

Langkah 3.5.3

Bagi setiap suku pada $y' (- x + 4 y) = - 2 x + y$ dengan $- x + 4 y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1

Bagilah setiap suku di $y' (- x + 4 y) = - 2 x + y$ dengan $- x + 4 y$ .

$\frac{y' (- x + 4 y)}{- x + 4 y} = \frac{- 2 x}{- x + 4 y} + \frac{y}{- x + 4 y}$

Langkah 3.5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- x + 4 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (- x + 4 y)}{- x + 4 y} = \frac{- 2 x}{- x + 4 y} + \frac{y}{- x + 4 y}$

Langkah 3.5.3.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{- x + 4 y} + \frac{y}{- x + 4 y}$

Langkah 3.5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- 2 x + y}{- x + 4 y}$

Langkah 3.5.3.3.2

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) + y}{- x + 4 y}$

Langkah 3.5.3.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - 1 (- y)}{- x + 4 y}$

Langkah 3.5.3.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- (2 x - y)}{- x + 4 y}$

Langkah 3.5.3.3.5

Tulis kembali $- (2 x - y)$ sebagai $- 1 (2 x - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- x + 4 y}$

Langkah 3.5.3.3.6

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x) + 4 y}$

Langkah 3.5.3.3.7

Faktorkan $- 1$ dari $4 y$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x) - (- 4 y)}$

Langkah 3.5.3.3.8

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - (- 4 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x - 4 y)}$

Langkah 3.5.3.3.9

Tulis kembali $- (x - 4 y)$ sebagai $- 1 (x - 4 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- 1 (x - 4 y)}$

Langkah 3.5.3.3.10

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- 1 (x - 4 y)}$

Langkah 3.5.3.3.11

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{2 x - y}{x - 4 y}$

Langkah 3.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - y}{x - 4 y}$

Langkah 4

Atur turunan tersebut ahar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{2 x - y}{x - 4 y} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$2 x - y = 0$

Langkah 4.2

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Tambahkan $y$ ke kedua sisi persamaan.

$2 x = y$

Langkah 4.2.2

Bagi setiap suku pada $2 x = y$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = y$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{y}{2}$

Langkah 4.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{y}{2}$

Langkah 4.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{y}{2}$

Langkah 5

Solve the function $f (x) = \frac{x + \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$ at $x = \frac{y}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{y}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{(\frac{y}{2}) + \sqrt{- 7 {(\frac{y}{2})}^{2} + 8}}{4}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{y}{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{- 7 \frac{y^{2}}{2^{2}} + 8}}{4}$

Langkah 5.2.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{- 7 \frac{y^{2}}{4} + 8}}{4}$

Langkah 5.2.1.3

Gabungkan $- 7$ dan $\frac{y^{2}}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{\frac{- 7 y^{2}}{4} + 8}}{4}$

Langkah 5.2.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{4} + 8}}{4}$

Langkah 5.2.1.5

Untuk menuliskan $8$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{4} + 8 \cdot \frac{4}{4}}}{4}$

Langkah 5.2.1.6

Gabungkan $8$ dan $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{4} + \frac{8 \cdot 4}{4}}}{4}$

Langkah 5.2.1.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{\frac{- 7 y^{2} + 8 \cdot 4}{4}}}{4}$

Langkah 5.2.1.8

Kalikan $8$ dengan $4$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{\frac{- 7 y^{2} + 32}{4}}}{4}$

Langkah 5.2.1.9

Tulis kembali $\frac{- 7 y^{2} + 32}{4}$ sebagai ${(\frac{1}{2})}^{2} (- 7 y^{2} + 32)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.9.1

Faktorkan kuadrat sempurna $1^{2}$ dari $- 7 y^{2} + 32$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} (- 7 y^{2} + 32)}{4}}}{4}$

Langkah 5.2.1.9.2

Faktorkan kuadrat sempurna $2^{2}$ dari $4$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} (- 7 y^{2} + 32)}{2^{2} \cdot 1}}}{4}$

Langkah 5.2.1.9.3

Susun kembali pecahan $\frac{1^{2} (- 7 y^{2} + 32)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (- 7 y^{2} + 32)}}{4}$

Langkah 5.2.1.10

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{4}$

Langkah 5.2.1.11

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sqrt{- 7 y^{2} + 32}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \frac{\sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2}}{4}$

Langkah 5.2.1.12

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2}}{4}$

Langkah 5.2.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Langkah 5.2.3

Kalikan $\frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Kalikan $\frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2 \cdot 4}$

Langkah 5.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}$

Langkah 5.2.4

Jawaban akhirnya adalah $\frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}$ .

$\frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}$

Langkah 6

Solve the function $f (x) = \frac{x - \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$ at $x = \frac{y}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{y}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{(\frac{y}{2}) - \sqrt{- 7 {(\frac{y}{2})}^{2} + 8}}{4}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{y}{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{- 7 \frac{y^{2}}{2^{2}} + 8}}{4}$

Langkah 6.2.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{- 7 \frac{y^{2}}{4} + 8}}{4}$

Langkah 6.2.1.3

Gabungkan $- 7$ dan $\frac{y^{2}}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{\frac{- 7 y^{2}}{4} + 8}}{4}$

Langkah 6.2.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{4} + 8}}{4}$

Langkah 6.2.1.5

Untuk menuliskan $8$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{4} + 8 \cdot \frac{4}{4}}}{4}$

Langkah 6.2.1.6

Gabungkan $8$ dan $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{4} + \frac{8 \cdot 4}{4}}}{4}$

Langkah 6.2.1.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{\frac{- 7 y^{2} + 8 \cdot 4}{4}}}{4}$

Langkah 6.2.1.8

Kalikan $8$ dengan $4$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{\frac{- 7 y^{2} + 32}{4}}}{4}$

Langkah 6.2.1.9

Tulis kembali $\frac{- 7 y^{2} + 32}{4}$ sebagai ${(\frac{1}{2})}^{2} (- 7 y^{2} + 32)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.9.1

Faktorkan kuadrat sempurna $1^{2}$ dari $- 7 y^{2} + 32$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{\frac{1^{2} (- 7 y^{2} + 32)}{4}}}{4}$

Langkah 6.2.1.9.2

Faktorkan kuadrat sempurna $2^{2}$ dari $4$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{\frac{1^{2} (- 7 y^{2} + 32)}{2^{2} \cdot 1}}}{4}$

Langkah 6.2.1.9.3

Susun kembali pecahan $\frac{1^{2} (- 7 y^{2} + 32)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (- 7 y^{2} + 32)}}{4}$

Langkah 6.2.1.10

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{- 7 y^{2} + 32})}{4}$

Langkah 6.2.1.11

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sqrt{- 7 y^{2} + 32}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \frac{\sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2}}{4}$

Langkah 6.2.1.12

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2}}{4}$

Langkah 6.2.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Langkah 6.2.3

Kalikan $\frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Kalikan $\frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2 \cdot 4}$

Langkah 6.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}$

Langkah 6.2.4

Jawaban akhirnya adalah $\frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}$ .

$\frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}$

Langkah 7

The horizontal tangent lines are $y = \frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}, y = \frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}$

$y = \frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}, y = \frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}$

Langkah 8