Kalkulus Contoh

$x^{2} + x y + y^{2} = 9$

Langkah 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $9$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} + x y + y^{2} - 9 = 0$

Langkah 1.2

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 1.3

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = x$ , dan $c = x^{2} - 9$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $y$ .

$\frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 9))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (x^{2} - 9)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.4.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.4.1.3

Kalikan $- 4$ dengan $- 9$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.4.1.4

Kurangi $4 x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.4.1.5

Faktorkan $3$ dari $- 3 x^{2} + 36$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.5.1

Faktorkan $3$ dari $- 3 x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 36}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.4.1.5.2

Faktorkan $3$ dari $36$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 3 (12)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.4.1.5.3

Faktorkan $3$ dari $3 (- x^{2}) + 3 (12)$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.4.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Langkah 1.5

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (x^{2} - 9)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.5.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.5.1.3

Kalikan $- 4$ dengan $- 9$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.5.1.4

Kurangi $4 x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.5.1.5

Faktorkan $3$ dari $- 3 x^{2} + 36$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.5.1

Faktorkan $3$ dari $- 3 x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 36}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.5.1.5.2

Faktorkan $3$ dari $36$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 3 (12)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.5.1.5.3

Faktorkan $3$ dari $3 (- x^{2}) + 3 (12)$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.5.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Langkah 1.5.3

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$y = \frac{- x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Langkah 1.5.4

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$y = \frac{- (x) + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Langkah 1.5.5

Faktorkan $- 1$ dari $\sqrt{3 (- x^{2} + 12)}$ .

$y = \frac{- (x) - 1 (- \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

Langkah 1.5.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - 1 (- \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ .

$y = \frac{- (x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

Langkah 1.5.7

Tulis kembali $- (x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ sebagai $- 1 (x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ .

$y = \frac{- 1 (x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

Langkah 1.5.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Langkah 1.6

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (x^{2} - 9)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.6.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.6.1.3

Kalikan $- 4$ dengan $- 9$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.6.1.4

Kurangi $4 x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.6.1.5

Faktorkan $3$ dari $- 3 x^{2} + 36$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1.5.1

Faktorkan $3$ dari $- 3 x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 36}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.6.1.5.2

Faktorkan $3$ dari $36$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 3 (12)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.6.1.5.3

Faktorkan $3$ dari $3 (- x^{2}) + 3 (12)$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.6.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Langkah 1.6.3

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$y = \frac{- x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Langkah 1.6.4

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$y = \frac{- (x) - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Langkah 1.6.5

Faktorkan $- 1$ dari $- \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}$ .

$y = \frac{- (x) - (\sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

Langkah 1.6.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - (\sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ .

$y = \frac{- (x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

Langkah 1.6.7

Tulis kembali $- (x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ sebagai $- 1 (x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ .

$y = \frac{- 1 (x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

Langkah 1.6.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Langkah 1.7

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Langkah 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2} \to f (x) = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2} \to f (x) = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Langkah 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + x y + y^{2} = 9$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (9)$

Langkah 3.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + x y + y^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 3.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 3.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 3.2.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 3.2.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 3.2.2.4

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 3.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.2.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + x y' + y + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.2.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$2 x + x y' + y + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.2.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x + x y' + y + 2 y y'$

Langkah 3.2.4

Susun kembali suku-suku.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y$

Langkah 3.3

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 3.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y = 0$

Langkah 3.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.1

Kurangkan $2 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x y' + 2 y y' + y = - 2 x$

Langkah 3.5.1.2

Kurangkan $y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x y' + 2 y y' = - 2 x - y$

Langkah 3.5.2

Faktorkan $y'$ dari $x y' + 2 y y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Faktorkan $y'$ dari $x y'$ .

$y' x + 2 y y' = - 2 x - y$

Langkah 3.5.2.2

Faktorkan $y'$ dari $2 y y'$ .

$y' (x) + y' (2 y) = - 2 x - y$

Langkah 3.5.2.3

Faktorkan $y'$ dari $y' (x) + y' (2 y)$ .

$y' (x + 2 y) = - 2 x - y$

Langkah 3.5.3

Bagi setiap suku pada $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ dengan $x + 2 y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1

Bagilah setiap suku di $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ dengan $x + 2 y$ .

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Langkah 3.5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Langkah 3.5.3.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Langkah 3.5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- 2 x - y}{x + 2 y}$

Langkah 3.5.3.3.2

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x + 2 y}$

Langkah 3.5.3.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $- y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x + 2 y}$

Langkah 3.5.3.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 x) - (y)$ .

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x + 2 y}$

Langkah 3.5.3.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.3.5.1

Tulis kembali $- (2 x + y)$ sebagai $- 1 (2 x + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x + 2 y}$

Langkah 3.5.3.3.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Langkah 3.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Langkah 4

Atur turunan tersebut ahar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{2 x + y}{x + 2 y} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$2 x + y = 0$

Langkah 4.2

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangkan $y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x = - y$

Langkah 4.2.2

Bagi setiap suku pada $2 x = - y$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = - y$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Langkah 4.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Langkah 4.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- y}{2}$

Langkah 4.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{y}{2}$

Langkah 5

Solve the function $f (x) = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$ at $x = - \frac{y}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- \frac{y}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{(- \frac{y}{2}) - \sqrt{3 (- {(- \frac{y}{2})}^{2} + 12)}}{2}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- ({(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2}) + 12)}}{2}$

Langkah 5.2.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- ({(- 1)}^{2} (\frac{y^{2}}{2^{2}})) + 12)}}{2}$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan ${(- 1)}^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.2.1

Pindahkan ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 ({(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

Langkah 5.2.1.2.2

Kalikan ${(- 1)}^{2}$ dengan $- 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.2.2.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 ({(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{y^{2}}{2^{2}})) + 12)}}{2}$

Langkah 5.2.1.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 ({(- 1)}^{2 + 1} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

Langkah 5.2.1.2.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 ({(- 1)}^{3} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

Langkah 5.2.1.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{2^{2}} + 12)}}{2}$

Langkah 5.2.1.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + 12)}}{2}$

Langkah 5.2.1.5

Untuk menuliskan $12$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + 12 \cdot \frac{4}{4})}}{2}$

Langkah 5.2.1.6

Gabungkan $12$ dan $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + \frac{12 \cdot 4}{4})}}{2}$

Langkah 5.2.1.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (\frac{- y^{2} + 12 \cdot 4}{4})}}{2}$

Langkah 5.2.1.8

Kalikan $12$ dengan $4$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (\frac{- y^{2} + 48}{4})}}{2}$

Langkah 5.2.1.9

Gabungkan $3$ dan $\frac{- y^{2} + 48}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{3 (- y^{2} + 48)}{4}}}{2}$

Langkah 5.2.1.10

Tulis kembali $\frac{3 (- y^{2} + 48)}{4}$ sebagai ${(\frac{1}{2})}^{2} (3 (- y^{2} + 48))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.10.1

Faktorkan kuadrat sempurna $1^{2}$ dari $3 (- y^{2} + 48)$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{4}}}{2}$

Langkah 5.2.1.10.2

Faktorkan kuadrat sempurna $2^{2}$ dari $4$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{2^{2} \cdot 1}}}{2}$

Langkah 5.2.1.10.3

Susun kembali pecahan $\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (3 (- y^{2} + 48))}}{2}$

Langkah 5.2.1.11

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{2}$

Langkah 5.2.1.12

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sqrt{3 (- y^{2} + 48)}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \frac{\sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}}{2}$

Langkah 5.2.1.13

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}}{2}$

Langkah 5.2.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Langkah 5.2.3

Kalikan $\frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Kalikan $\frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 5.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Langkah 5.2.4

Faktorkan $- 1$ dari $- y$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Langkah 5.2.5

Faktorkan $- 1$ dari $- \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) - (\sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

Langkah 5.2.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (y) - (\sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

Langkah 5.2.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.7.1

Tulis kembali $- (y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ sebagai $- 1 (y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- 1 (y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

Langkah 5.2.7.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Langkah 5.2.7.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = 1 (\frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4})$

Langkah 5.2.7.4

Kalikan $\frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$ dengan $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Langkah 5.2.8

Jawaban akhirnya adalah $\frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$ .

$\frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Langkah 6

Solve the function $f (x) = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$ at $x = - \frac{y}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- \frac{y}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{(- \frac{y}{2}) + \sqrt{3 (- {(- \frac{y}{2})}^{2} + 12)}}{2}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- ({(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2}) + 12)}}{2}$

Langkah 6.2.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- ({(- 1)}^{2} (\frac{y^{2}}{2^{2}})) + 12)}}{2}$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan ${(- 1)}^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.2.1

Pindahkan ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 ({(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

Langkah 6.2.1.2.2

Kalikan ${(- 1)}^{2}$ dengan $- 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.2.2.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 ({(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{y^{2}}{2^{2}})) + 12)}}{2}$

Langkah 6.2.1.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 ({(- 1)}^{2 + 1} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

Langkah 6.2.1.2.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 ({(- 1)}^{3} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

Langkah 6.2.1.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{2^{2}} + 12)}}{2}$

Langkah 6.2.1.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + 12)}}{2}$

Langkah 6.2.1.5

Untuk menuliskan $12$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + 12 \cdot \frac{4}{4})}}{2}$

Langkah 6.2.1.6

Gabungkan $12$ dan $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + \frac{12 \cdot 4}{4})}}{2}$

Langkah 6.2.1.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (\frac{- y^{2} + 12 \cdot 4}{4})}}{2}$

Langkah 6.2.1.8

Kalikan $12$ dengan $4$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (\frac{- y^{2} + 48}{4})}}{2}$

Langkah 6.2.1.9

Gabungkan $3$ dan $\frac{- y^{2} + 48}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{3 (- y^{2} + 48)}{4}}}{2}$

Langkah 6.2.1.10

Tulis kembali $\frac{3 (- y^{2} + 48)}{4}$ sebagai ${(\frac{1}{2})}^{2} (3 (- y^{2} + 48))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.10.1

Faktorkan kuadrat sempurna $1^{2}$ dari $3 (- y^{2} + 48)$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{4}}}{2}$

Langkah 6.2.1.10.2

Faktorkan kuadrat sempurna $2^{2}$ dari $4$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{2^{2} \cdot 1}}}{2}$

Langkah 6.2.1.10.3

Susun kembali pecahan $\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (3 (- y^{2} + 48))}}{2}$

Langkah 6.2.1.11

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}$

Langkah 6.2.1.12

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sqrt{3 (- y^{2} + 48)}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \frac{\sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}}{2}$

Langkah 6.2.1.13

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}}{2}$

Langkah 6.2.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Langkah 6.2.3

Kalikan $\frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Kalikan $\frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 6.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Langkah 6.2.4

Faktorkan $- 1$ dari $- y$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Langkah 6.2.5

Faktorkan $- 1$ dari $\sqrt{3 (- y^{2} + 48)}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) - 1 (- \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

Langkah 6.2.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (y) - 1 (- \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

Langkah 6.2.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.7.1

Tulis kembali $- (y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ sebagai $- 1 (y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- 1 (y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

Langkah 6.2.7.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Langkah 6.2.7.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = 1 (\frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4})$

Langkah 6.2.7.4

Kalikan $\frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$ dengan $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Langkah 6.2.8

Jawaban akhirnya adalah $\frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$ .

$\frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Langkah 7

The horizontal tangent lines are $y = \frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}, y = \frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

$y = \frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}, y = \frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Langkah 8