Kalkulus Contoh

$x^{2} + 9 y^{2} = 1$

Langkah 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$9 y^{2} = 1 - x^{2}$

Langkah 1.2

Bagi setiap suku pada $9 y^{2} = 1 - x^{2}$ dengan $9$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Bagilah setiap suku di $9 y^{2} = 1 - x^{2}$ dengan $9$ .

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{1}{9} + \frac{- x^{2}}{9}$

Langkah 1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{1}{9} + \frac{- x^{2}}{9}$

Langkah 1.2.2.1.2

Bagilah $y^{2}$ dengan $1$ .

$y^{2} = \frac{1}{9} + \frac{- x^{2}}{9}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y^{2} = \frac{1}{9} - \frac{x^{2}}{9}$

Langkah 1.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{9} - \frac{x^{2}}{9}}$

Langkah 1.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{1}{9} - \frac{x^{2}}{9}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{9}}$

Langkah 1.4.2

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2}}{3^{2}} - \frac{x^{2}}{9}}$

Langkah 1.4.3

Tulis kembali $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ sebagai ${(\frac{1}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} - \frac{x^{2}}{9}}$

Langkah 1.4.4

Tulis kembali $\frac{x^{2}}{9}$ sebagai ${(\frac{x}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}$

Langkah 1.4.5

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = \frac{1}{3}$ dan $b = \frac{x}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{1}{3} + \frac{x}{3}) (\frac{1}{3} - \frac{x}{3})}$

Langkah 1.4.6

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.6.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{\frac{1 + x}{3} (\frac{1}{3} - \frac{x}{3})}$

Langkah 1.4.6.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{\frac{1 + x}{3} \cdot \frac{1 - x}{3}}$

Langkah 1.4.6.3

Kalikan $\frac{1 + x}{3}$ dengan $\frac{1 - x}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(1 + x) (1 - x)}{3 \cdot 3}}$

Langkah 1.4.6.4

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(1 + x) (1 - x)}{9}}$

Langkah 1.4.7

Tulis kembali $\frac{(1 + x) (1 - x)}{9}$ sebagai ${(\frac{1}{3})}^{2} ((1 + x) (1 - x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.7.1

Faktorkan kuadrat sempurna $1^{2}$ dari $(1 + x) (1 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + x) (1 - x))}{9}}$

Langkah 1.4.7.2

Faktorkan kuadrat sempurna $3^{2}$ dari $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + x) (1 - x))}{3^{2} \cdot 1}}$

Langkah 1.4.7.3

Susun kembali pecahan $\frac{1^{2} ((1 + x) (1 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((1 + x) (1 - x))}$

Langkah 1.4.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Langkah 1.4.9

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

Langkah 1.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

Langkah 1.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

Langkah 1.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

Langkah 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3} \to f (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3} \to f (x) = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

Langkah 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + 9 y^{2} = 1$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 9 y^{2}) = \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 3.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 9 y^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Langkah 3.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Langkah 3.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x + 9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 3.2.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$2 x + 9 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + 9 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.2.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$2 x + 9 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.2.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x + 9 (2 y y')$

Langkah 3.2.2.4

Kalikan $2$ dengan $9$ .

$2 x + 18 y y'$

Langkah 3.2.3

Susun kembali suku-suku.

$18 y y' + 2 x$

Langkah 3.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 3.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$18 y y' + 2 x = 0$

Langkah 3.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Kurangkan $2 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$18 y y' = - 2 x$

Langkah 3.5.2

Bagi setiap suku pada $18 y y' = - 2 x$ dengan $18 y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Bagilah setiap suku di $18 y y' = - 2 x$ dengan $18 y$ .

$\frac{18 y y'}{18 y} = \frac{- 2 x}{18 y}$

Langkah 3.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $18$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{18 y y'}{18 y} = \frac{- 2 x}{18 y}$

Langkah 3.5.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{18 y}$

Langkah 3.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{18 y}$

Langkah 3.5.2.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{18 y}$

Langkah 3.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $18$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{18 y}$

Langkah 3.5.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.3.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $18 y$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (9 y)}$

Langkah 3.5.2.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (9 y)}$

Langkah 3.5.2.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{- x}{9 y}$

Langkah 3.5.2.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{x}{9 y}$

Langkah 3.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{9 y}$

Langkah 4

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$x = 0$

Langkah 5

Solve the function $f (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$ at $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = \frac{\sqrt{(1 + 0) (1 - (0))}}{3}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$f (0) = \frac{\sqrt{(1 + 0) (1 - (0))}}{3}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{1 (1 - (0))}}{3}$

Langkah 5.2.2.2

Kalikan $1 - (0)$ dengan $1$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{1 - (0)}}{3}$

Langkah 5.2.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{1 + 0}}{3}$

Langkah 5.2.2.4

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{1}}{3}$

Langkah 5.2.2.5

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$f (0) = \frac{1}{3}$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

Langkah 6

Solve the function $f (x) = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$ at $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = - \frac{\sqrt{(1 + 0) (1 - (0))}}{3}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$f (0) = - \frac{\sqrt{(1 + 0) (1 - (0))}}{3}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{1 (1 - (0))}}{3}$

Langkah 6.2.2.2

Kalikan $1 - (0)$ dengan $1$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{1 - (0)}}{3}$

Langkah 6.2.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{1 + 0}}{3}$

Langkah 6.2.2.4

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{1}}{3}$

Langkah 6.2.2.5

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$f (0) = - \frac{1}{3}$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3}$

Langkah 7

The horizontal tangent lines are $y = \frac{1}{3}, y = - \frac{1}{3}$

$y = \frac{1}{3}, y = - \frac{1}{3}$

Langkah 8