Kalkulus Contoh

${(y - 2)}^{2} = 4 (x - 3)$

Langkah 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y - 2 = \pm \sqrt{4 (x - 3)}$

Langkah 1.2

Sederhanakan $\pm \sqrt{4 (x - 3)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$y - 2 = \pm \sqrt{2^{2} (x - 3)}$

Langkah 1.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y - 2 = \pm 2 \sqrt{x - 3}$

Langkah 1.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y - 2 = 2 \sqrt{x - 3}$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

Langkah 1.3.3

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y - 2 = - 2 \sqrt{x - 3}$

Langkah 1.3.4

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

Langkah 1.3.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

Langkah 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2 \to f (x) = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2 \to f (x) = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

Langkah 3

Because the $y$ variable in the equation ${(y - 2)}^{2} = 4 (x - 3)$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} ({(y - 2)}^{2}) = \frac{d}{d x} (4 (x - 3))$

Langkah 3.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Tulis kembali ${(y - 2)}^{2}$ sebagai $(y - 2) (y - 2)$ .

$\frac{d}{d x} [(y - 2) (y - 2)]$

Langkah 3.2.2

Perluas $(y - 2) (y - 2)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [y (y - 2) - 2 (y - 2)]$

Langkah 3.2.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 (y - 2)]$

Langkah 3.2.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2]$

Langkah 3.2.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1.1

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2]$

Langkah 3.2.3.1.2

Pindahkan $- 2$ ke sebelah kiri $y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 2 \cdot y - 2 y - 2 \cdot - 2]$

Langkah 3.2.3.1.3

Kalikan $- 2$ dengan $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 2 y - 2 y + 4]$

Langkah 3.2.3.2

Kurangi $2 y$ dengan $- 2 y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 4 y + 4]$

Langkah 3.2.4

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{2} - 4 y + 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 3.2.5

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 3.2.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 3.2.5.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 3.2.6

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 3.2.7

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 y$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 y y' - 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 3.2.8

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 y y' - 4 y' + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 3.2.9

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 y y' - 4 y' + 0$

Langkah 3.2.10

Tambahkan $2 y y' - 4 y'$ dan $0$ .

$2 y y' - 4 y'$

Langkah 3.3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 (x - 3)$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x - 3]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x - 3]$

Langkah 3.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Langkah 3.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Langkah 3.3.4

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$4 (1 + 0)$

Langkah 3.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$4 \cdot 1$

Langkah 3.3.5.2

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4$

Langkah 3.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$2 y y' - 4 y' = 4$

Langkah 3.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Faktorkan $2 y'$ dari $2 y y' - 4 y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.1

Faktorkan $2 y'$ dari $2 y y'$ .

$2 y' y - 4 y' = 4$

Langkah 3.5.1.2

Faktorkan $2 y'$ dari $- 4 y'$ .

$2 y' y + 2 y' \cdot - 2 = 4$

Langkah 3.5.1.3

Faktorkan $2 y'$ dari $2 y' y + 2 y' \cdot - 2$ .

$2 y' (y - 2) = 4$

Langkah 3.5.2

Bagi setiap suku pada $2 y' (y - 2) = 4$ dengan $2 (y - 2)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Bagilah setiap suku di $2 y' (y - 2) = 4$ dengan $2 (y - 2)$ .

$\frac{2 y' (y - 2)}{2 (y - 2)} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

Langkah 3.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y' (y - 2)}{2 (y - 2)} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

Langkah 3.5.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (y - 2)}{y - 2} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

Langkah 3.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (y - 2)}{y - 2} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

Langkah 3.5.2.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{4}{2 (y - 2)}$

Langkah 3.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 2)}$

Langkah 3.5.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 2)}$

Langkah 3.5.2.3.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{2}{y - 2}$

Langkah 3.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 2}$

Langkah 4

Atur turunan tersebut ahar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{2}{y - 2} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$2 = 0$

Langkah 4.2

Karena $2 \neq 0$ , tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 5

Tidak ada penyelesaian yang ditemukan dengan mengatur turunannya agar sama dengan $0$ , $\frac{2}{y - 2} = 0$ sehingga tidak ada garis tangen datar.

Tidak ditemukan garis tangen datar

Langkah 6