Kalkulus Contoh

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Langkah 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $\frac{x^{2}}{16}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{y^{2}}{4} = 1 - \frac{x^{2}}{16}$

Langkah 1.2

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $4$ .

$4 \frac{y^{2}}{4} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

Langkah 1.3

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$4 \frac{y^{2}}{4} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

Langkah 1.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

Langkah 1.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Sederhanakan $4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} = 4 \cdot 1 + 4 (- \frac{x^{2}}{16})$

Langkah 1.3.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$y^{2} = 4 + 4 (- \frac{x^{2}}{16})$

Langkah 1.3.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{x^{2}}{16}$ ke dalam pembilangnya.

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{16}$

Langkah 1.3.2.1.3.2

Faktorkan $4$ dari $16$ .

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{4 (4)}$

Langkah 1.3.2.1.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{4 \cdot 4}$

Langkah 1.3.2.1.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = 4 + \frac{- x^{2}}{4}$

Langkah 1.3.2.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y^{2} = 4 - \frac{x^{2}}{4}$

Langkah 1.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$

Langkah 1.5

Sederhanakan $\pm \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Tulis pernyataannya menggunakan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2} - \frac{x^{2}}{4}}$

Langkah 1.5.1.2

Tulis kembali $\frac{x^{2}}{4}$ sebagai ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}$

Langkah 1.5.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 2$ dan $b = \frac{x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(2 + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

Langkah 1.5.3

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

Langkah 1.5.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

Langkah 1.5.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 \cdot 2 + x}{2} (2 - \frac{x}{2})}$

Langkah 1.5.6

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (2 - \frac{x}{2})}$

Langkah 1.5.7

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2})}$

Langkah 1.5.8

Gabungkan $2$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{x}{2})}$

Langkah 1.5.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2 - x}{2}}$

Langkah 1.5.10

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} \cdot \frac{4 - x}{2}}$

Langkah 1.5.11

Kalikan $\frac{4 + x}{2}$ dengan $\frac{4 - x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{2 \cdot 2}}$

Langkah 1.5.12

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{4}}$

Langkah 1.5.13

Tulis kembali $\frac{(4 + x) (4 - x)}{4}$ sebagai ${(\frac{1}{2})}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.13.1

Faktorkan kuadrat sempurna $1^{2}$ dari $(4 + x) (4 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4}}$

Langkah 1.5.13.2

Faktorkan kuadrat sempurna $2^{2}$ dari $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{2^{2} \cdot 1}}$

Langkah 1.5.13.3

Susun kembali pecahan $\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((4 + x) (4 - x))}$

Langkah 1.5.14

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Langkah 1.5.15

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Langkah 1.6

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Langkah 1.6.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Langkah 1.6.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Langkah 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2} \to f (x) = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2} \to f (x) = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Langkah 3

Because the $y$ variable in the equation $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4}) = \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 3.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Langkah 3.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{16}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Karena $\frac{1}{16}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x^{2}}{16}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Langkah 3.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{16} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Langkah 3.2.2.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{16}$ .

$\frac{2}{16} x + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Langkah 3.2.2.4

Gabungkan $\frac{2}{16}$ dan $x$ .

$\frac{2 x}{16} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Langkah 3.2.2.5

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.5.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$\frac{2 (x)}{16} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Langkah 3.2.2.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.5.2.1

Faktorkan $2$ dari $16$ .

$\frac{2 x}{2 \cdot 8} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Langkah 3.2.2.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2 \cdot 8} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Langkah 3.2.2.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x}{8} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Langkah 3.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{y^{2}}{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 3.2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.2.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} (2 y y')$

Langkah 3.2.3.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x}{8} + \frac{2}{4} (y y')$

Langkah 3.2.3.5

Gabungkan $y$ dan $\frac{2}{4}$ .

$\frac{x}{8} + \frac{y \cdot 2}{4} y'$

Langkah 3.2.3.6

Gabungkan $\frac{y \cdot 2}{4}$ dan $y'$ .

$\frac{x}{8} + \frac{y \cdot 2 y'}{4}$

Langkah 3.2.3.7

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$\frac{x}{8} + \frac{2 \cdot y y'}{4}$

Langkah 3.2.3.8

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.8.1

Faktorkan $2$ dari $2 y y'$ .

$\frac{x}{8} + \frac{2 (y y')}{4}$

Langkah 3.2.3.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.8.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{x}{8} + \frac{2 (y y')}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.2.3.8.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x}{8} + \frac{2 (y y')}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.2.3.8.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x}{8} + \frac{y y'}{2}$

Langkah 3.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 3.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$\frac{x}{8} + \frac{y y'}{2} = 0$

Langkah 3.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Kurangkan $\frac{x}{8}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{y y'}{2} = - \frac{x}{8}$

Langkah 3.5.2

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 \frac{y y'}{2} = 2 (- \frac{x}{8})$

Langkah 3.5.3

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{y y'}{2} = 2 (- \frac{x}{8})$

Langkah 3.5.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y y' = 2 (- \frac{x}{8})$

Langkah 3.5.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.2.1

Sederhanakan $2 (- \frac{x}{8})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.2.1.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{x}{8}$ ke dalam pembilangnya.

$y y' = 2 \frac{- x}{8}$

Langkah 3.5.3.2.1.1.2

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$y y' = 2 \frac{- x}{2 (4)}$

Langkah 3.5.3.2.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y y' = 2 \frac{- x}{2 \cdot 4}$

Langkah 3.5.3.2.1.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y y' = \frac{- x}{4}$

Langkah 3.5.3.2.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y y' = - \frac{x}{4}$

Langkah 3.5.4

Bagi setiap suku pada $y y' = - \frac{x}{4}$ dengan $y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1

Bagilah setiap suku di $y y' = - \frac{x}{4}$ dengan $y$ .

$\frac{y y'}{y} = \frac{- \frac{x}{4}}{y}$

Langkah 3.5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- \frac{x}{4}}{y}$

Langkah 3.5.4.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- \frac{x}{4}}{y}$

Langkah 3.5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y' = - \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{y}$

Langkah 3.5.4.3.2

Kalikan $\frac{1}{y}$ dengan $\frac{x}{4}$ .

$y' = - \frac{x}{y \cdot 4}$

Langkah 3.5.4.3.3

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $y$ .

$y' = - \frac{x}{4 y}$

Langkah 3.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{4 y}$

Langkah 4

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$x = 0$

Langkah 5

Solve the function $f (x) = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$ at $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = \frac{\sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}}{2}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$f (0) = \frac{\sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}}{2}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{4 (4 - (0))}}{2}$

Langkah 5.2.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{4 (4 + 0)}}{2}$

Langkah 5.2.2.3

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{4 \cdot 4}}{2}$

Langkah 5.2.2.4

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{16}}{2}$

Langkah 5.2.2.5

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{4^{2}}}{2}$

Langkah 5.2.2.6

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$f (0) = \frac{4}{2}$

Langkah 5.2.3

Bagilah $4$ dengan $2$ .

$f (0) = 2$

Langkah 5.2.4

Jawaban akhirnya adalah $2$ .

$2$

Langkah 6

Solve the function $f (x) = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$ at $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = - \frac{\sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}}{2}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$f (0) = - \frac{\sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}}{2}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{4 (4 - (0))}}{2}$

Langkah 6.2.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{4 (4 + 0)}}{2}$

Langkah 6.2.2.3

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{4 \cdot 4}}{2}$

Langkah 6.2.2.4

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{16}}{2}$

Langkah 6.2.2.5

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{4^{2}}}{2}$

Langkah 6.2.2.6

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$f (0) = - \frac{4}{2}$

Langkah 6.2.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Bagilah $4$ dengan $2$ .

$f (0) = - 1 \cdot 2$

Langkah 6.2.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f (0) = - 2$

Langkah 6.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- 2$ .

$- 2$

Langkah 7

The horizontal tangent lines are $y = 2, y = - 2$

$y = 2, y = - 2$

Langkah 8