Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{3} - 2$ , $(1, - 1)$

Langkah 1

Periksa apakah titik yang diberikan terletak pada grafik dari fungsi yang diberikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Evaluasi $f (x) = x^{3} - 2$ pada $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = {(1)}^{3} - 2$

Langkah 1.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = 1 - 2$

Langkah 1.1.2.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$f (1) = - 1$

Langkah 1.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 1$ .

$- 1$

Langkah 1.2

Karena $- 1 = - 1$ , titiknya berada pada grafik.

Titik berada pada grafik

Langkah 2

Gradien garis tangen adalah turunan dari pernyataan.

(Variabel0) $=$ Turunan dari $f (x) = x^{3} - 2$

Langkah 3

Mempertimbangkan definisi batas turunannya.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Langkah 4

Tentukan komponen dari definisinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi fungsi pada $x = x + h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $x + h$ pada pernyataan tersebut.

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} - 2$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Gunakan Teorema Binomial.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2$

Langkah 4.1.2.2

Jawaban akhirnya adalah $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2$ .

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2$

Langkah 4.2

Susun kembali.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} - 2$

Langkah 4.2.2

Pindahkan $x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 2$

Langkah 4.2.3

Pindahkan $x^{3}$ .

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} - 2$

Langkah 4.2.4

Pindahkan $3 h x^{2}$ .

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} - 2$

Langkah 4.2.5

Susun kembali $3 h^{2} x$ dan $h^{3}$ .

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2$

Langkah 4.3

Tentukan komponen dari definisinya.

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2$

$f (x) = x^{3} - 2$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2$

$f (x) = x^{3} - 2$

Langkah 5

Masukkan komponen.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 - (x^{3} - 2)}{h}$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 - x^{3} + 2}{h}$

Langkah 6.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 - x^{3} + 2}{h}$

Langkah 6.1.3

Kurangi $x^{3}$ dengan $x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 0 - 2 + 2}{h}$

Langkah 6.1.4

Tambahkan $h^{3}$ dan $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 + 2}{h}$

Langkah 6.1.5

Tambahkan $- 2$ dan $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 0}{h}$

Langkah 6.1.6

Tambahkan $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}$ dan $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}}{h}$

Langkah 6.1.7

Faktorkan $h$ dari $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.7.1

Faktorkan $h$ dari $h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}}{h}$

Langkah 6.1.7.2

Faktorkan $h$ dari $3 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2}}{h}$

Langkah 6.1.7.3

Faktorkan $h$ dari $3 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2})}{h}$

Langkah 6.1.7.4

Faktorkan $h$ dari $h (h^{2}) + h (3 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})}{h}$

Langkah 6.1.7.5

Faktorkan $h$ dari $h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Langkah 6.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Langkah 6.2.1.2

Bagilah $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}$ dengan $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Pindahkan $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 x h + 3 x^{2}$

Langkah 6.2.2.2

Pindahkan $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x h + 3 x^{2} + h^{2}$

Langkah 6.2.2.3

Susun kembali $3 x h$ dan $3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x^{2} + 3 x h + h^{2}$

Langkah 7

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $h$ mendekati $0$ .

$lim_{h \to 0} 3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2}$

Langkah 8

Evaluasi limit dari $3 x^{2}$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2}$

Langkah 9

Pindahkan suku $3 x$ ke luar limit karena konstan terhadap $h$ .

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} h^{2}$

Langkah 10

Pindahkan pangkat $2$ dari $h^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Langkah 11

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Langkah 11.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + 0^{2}$

Langkah 12

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Kalikan $3 x \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.1

Kalikan $0$ dengan $3$ .

$3 x^{2} + 0 x + 0^{2}$

Langkah 12.1.1.2

Kalikan $0$ dengan $x$ .

$3 x^{2} + 0 + 0^{2}$

Langkah 12.1.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$3 x^{2} + 0 + 0$

Langkah 12.2

Gabungkan suku balikan dalam $3 x^{2} + 0 + 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Tambahkan $3 x^{2}$ dan $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Langkah 12.2.2

Tambahkan $3 x^{2}$ dan $0$ .

$3 x^{2}$

Langkah 13

Tentukan gradien $m$ . Dalam hal ini $m = 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Hilangkan tanda kurung.

$m = 3 \cdot 1^{2}$

Langkah 13.2

Sederhanakan $3 \cdot 1^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$m = 3 \cdot 1$

Langkah 13.2.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$m = 3$

Langkah 14

Gradiennya adalah $m = 3$ dan titiknya adalah $(1, - 1)$ .

$m = 3, (1, - 1)$

Langkah 15

Temukan nilai dari $b$ menggunakan rumus untuk persamaan sebuah garis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Gunakan rumus untuk persamaan garis untuk mencari $b$ .

$y = m x + b$

Langkah 15.2

Substitusikan nilai $m$ ke dalam persamaannya.

$y = (3) \cdot x + b$

Langkah 15.3

Substitusikan nilai $x$ ke dalam persamaannya.

$y = (3) \cdot (1) + b$

Langkah 15.4

Substitusikan nilai $y$ ke dalam persamaannya.

$- 1 = (3) \cdot (1) + b$

Langkah 15.5

Temukan nilai dari $b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $(3) \cdot (1) + b = - 1$ .

$(3) \cdot (1) + b = - 1$

Langkah 15.5.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 + b = - 1$

Langkah 15.5.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $b$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.5.3.1

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$b = - 1 - 3$

Langkah 15.5.3.2

Kurangi $3$ dengan $- 1$ .

$b = - 4$

Langkah 16

Sekarang setelah nilai-nilai dari $m$ (gradien) dan $b$ (perpotongan sumbu y) diketahui, substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam $y = m x + b$ untuk menentukan persamaan garis.

$y = 3 x - 4$

Langkah 17