Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ , $(1, 2)$

Langkah 1

Periksa apakah titik yang diberikan terletak pada grafik dari fungsi yang diberikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Evaluasi $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ pada $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 + 6$

Langkah 1.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = 1 - 5 \cdot 1 + 6$

Langkah 1.1.2.1.2

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$f (1) = 1 - 5 + 6$

Langkah 1.1.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Kurangi $5$ dengan $1$ .

$f (1) = - 4 + 6$

Langkah 1.1.2.2.2

Tambahkan $- 4$ dan $6$ .

$f (1) = 2$

Langkah 1.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah $2$ .

$2$

Langkah 1.2

Karena $2 = 2$ , titiknya berada pada grafik.

Titik berada pada grafik

Langkah 2

Gradien garis tangen adalah turunan dari pernyataan.

(Variabel0) $=$ Turunan dari $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

Langkah 3

Mempertimbangkan definisi batas turunannya.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Langkah 4

Tentukan komponen dari definisinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi fungsi pada $x = x + h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $x + h$ pada pernyataan tersebut.

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} - 5 (x + h) + 6$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Tulis kembali ${(x + h)}^{2}$ sebagai $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = (x + h) (x + h) - 5 (x + h) + 6$

Langkah 4.1.2.1.2

Perluas $(x + h) (x + h)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) - 5 (x + h) + 6$

Langkah 4.1.2.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) - 5 (x + h) + 6$

Langkah 4.1.2.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h - 5 (x + h) + 6$

Langkah 4.1.2.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h - 5 (x + h) + 6$

Langkah 4.1.2.1.3.1.2

Kalikan $h$ dengan $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} - 5 (x + h) + 6$

Langkah 4.1.2.1.3.2

Tambahkan $x h$ dan $h x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.3.2.1

Susun kembali $x$ dan $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} - 5 (x + h) + 6$

Langkah 4.1.2.1.3.2.2

Tambahkan $h x$ dan $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 (x + h) + 6$

Langkah 4.1.2.1.4

Terapkan sifat distributif.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 x - 5 h + 6$

Langkah 4.1.2.2

Jawaban akhirnya adalah $x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 x - 5 h + 6$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 x - 5 h + 6$

Langkah 4.2

Susun kembali.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Pindahkan $- 5 x$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 h - 5 x + 6$

Langkah 4.2.2

Pindahkan $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

Langkah 4.2.3

Susun kembali $2 h x$ dan $h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

Langkah 4.3

Tentukan komponen dari definisinya.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

Langkah 5

Masukkan komponen.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - (x^{2} - 5 x + 6)}{h}$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - x^{2} - (- 5 x) - 1 \cdot 6}{h}$

Langkah 6.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Kalikan $- 5$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - x^{2} + 5 x - 1 \cdot 6}{h}$

Langkah 6.1.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $6$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - x^{2} + 5 x - 6}{h}$

Langkah 6.1.3

Kurangi $x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h - 5 x + 6 + 0 + 5 x - 6}{h}$

Langkah 6.1.4

Tambahkan $h^{2}$ dan $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h - 5 x + 6 + 5 x - 6}{h}$

Langkah 6.1.5

Tambahkan $- 5 x$ dan $5 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h + 0 + 6 - 6}{h}$

Langkah 6.1.6

Tambahkan $h^{2}$ dan $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h + 6 - 6}{h}$

Langkah 6.1.7

Kurangi $6$ dengan $6$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h + 0}{h}$

Langkah 6.1.8

Tambahkan $h^{2} + 2 h x - 5 h$ dan $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h}{h}$

Langkah 6.1.9

Faktorkan $h$ dari $h^{2} + 2 h x - 5 h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.9.1

Faktorkan $h$ dari $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x - 5 h}{h}$

Langkah 6.1.9.2

Faktorkan $h$ dari $2 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) - 5 h}{h}$

Langkah 6.1.9.3

Faktorkan $h$ dari $- 5 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot - 5}{h}$

Langkah 6.1.9.4

Faktorkan $h$ dari $h (h) + h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x) + h \cdot - 5}{h}$

Langkah 6.1.9.5

Faktorkan $h$ dari $h (h + 2 x) + h \cdot - 5$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x - 5)}{h}$

Langkah 6.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x - 5)}{h}$

Langkah 6.2.1.2

Bagilah $h + 2 x - 5$ dengan $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x - 5$

Langkah 6.2.2

Susun kembali $h$ dan $2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h - 5$

Langkah 7

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $h$ mendekati $0$ .

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 5$

Langkah 7.2

Evaluasi limit dari $2 x$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 5$

Langkah 7.3

Evaluasi limit dari $5$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 5$

Langkah 8

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$2 x + 0 - 1 \cdot 5$

Langkah 9

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 x - 1 \cdot 5$

Langkah 9.2

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$2 x - 5$

Langkah 10

Sederhanakan $2 (1) - 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$m = 2 - 5$

Langkah 10.2

Kurangi $5$ dengan $2$ .

$m = - 3$

Langkah 11

Gradiennya adalah $m = - 3$ dan titiknya adalah $(1, 2)$ .

$m = - 3, (1, 2)$

Langkah 12

Temukan nilai dari $b$ menggunakan rumus untuk persamaan sebuah garis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Gunakan rumus untuk persamaan garis untuk mencari $b$ .

$y = m x + b$

Langkah 12.2

Substitusikan nilai $m$ ke dalam persamaannya.

$y = (- 3) \cdot x + b$

Langkah 12.3

Substitusikan nilai $x$ ke dalam persamaannya.

$y = (- 3) \cdot (1) + b$

Langkah 12.4

Substitusikan nilai $y$ ke dalam persamaannya.

$2 = (- 3) \cdot (1) + b$

Langkah 12.5

Temukan nilai dari $b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $(- 3) \cdot (1) + b = 2$ .

$(- 3) \cdot (1) + b = 2$

Langkah 12.5.2

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$- 3 + b = 2$

Langkah 12.5.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $b$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.3.1

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$b = 2 + 3$

Langkah 12.5.3.2

Tambahkan $2$ dan $3$ .

$b = 5$

Langkah 13

Sekarang setelah nilai-nilai dari $m$ (gradien) dan $b$ (perpotongan sumbu y) diketahui, substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam $y = m x + b$ untuk menentukan persamaan garis.

$y = - 3 x + 5$

Langkah 14