Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$ , $(0, 1)$

Langkah 1

Periksa apakah titik yang diberikan terletak pada grafik dari fungsi yang diberikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Evaluasi $f (x) = \frac{1}{x + 1}$ pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = \frac{1}{(0) + 1}$

Langkah 1.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$f (0) = \frac{1}{1}$

Langkah 1.1.2.2

Bagilah $1$ dengan $1$ .

$f (0) = 1$

Langkah 1.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1$ .

$1$

Langkah 1.2

Karena $1 = 1$ , titiknya berada pada grafik.

Titik berada pada grafik

Langkah 2

Gradien garis tangen adalah turunan dari pernyataan.

(Variabel0) $=$ Turunan dari $f (x) = \frac{1}{x + 1}$

Langkah 3

Mempertimbangkan definisi batas turunannya.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Langkah 4

Tentukan komponen dari definisinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi fungsi pada $x = x + h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $x + h$ pada pernyataan tersebut.

$f (x + h) = \frac{1}{(x + h) + 1}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

Langkah 4.1.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\frac{1}{x + h + 1}$ .

$\frac{1}{x + h + 1}$

Langkah 4.2

Tentukan komponen dari definisinya.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$

Langkah 5

Masukkan komponen.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h + 1} - (\frac{1}{x + 1})}{h}$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Untuk menuliskan $\frac{1}{x + h + 1}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}}{h}$

Langkah 6.1.2

Untuk menuliskan $- \frac{1}{x + 1}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

Langkah 6.1.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $(x + h + 1) (x + 1)$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1

Kalikan $\frac{1}{x + h + 1}$ dengan $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

Langkah 6.1.3.2

Kalikan $\frac{1}{x + 1}$ dengan $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{x + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 6.1.3.3

Susun kembali faktor-faktor dari $(x + h + 1) (x + 1)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1}{(x + 1) (x + h + 1)} - \frac{x + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 6.1.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1 - (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 6.1.5

Tulis kembali $\frac{x + 1 - (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$ dalam bentuk faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.5.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1 - x - h - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 6.1.5.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1 - x - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 6.1.5.3

Kurangi $x$ dengan $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{0 + 1 - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 6.1.5.4

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1 - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 6.1.5.5

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h + 0}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 6.1.5.6

Tambahkan $- h$ dan $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 6.1.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 6.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Langkah 6.3

Batalkan faktor persekutuan dari $h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}$ ke dalam pembilangnya.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Langkah 6.3.2

Faktorkan $h$ dari $- h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Langkah 6.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Langkah 6.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Langkah 6.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Langkah 7

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $h$ .

$- lim_{h \to 0} \frac{1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Langkah 7.2

Pindahkan suku $\frac{1}{x + 1}$ ke luar limit karena konstan terhadap $h$ .

$- \frac{1}{x + 1} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h + 1}$

Langkah 7.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $h$ mendekati $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

Langkah 7.4

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

Langkah 7.5

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $h$ mendekati $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

Langkah 7.6

Evaluasi limit dari $x$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

Langkah 7.7

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + 1}$

Langkah 8

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 0 + 1}$

Langkah 9

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Langkah 9.2

Kalikan $- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Kalikan $\frac{1}{x + 1}$ dengan $\frac{1}{x + 1}$ .

$- \frac{1}{(x + 1) (x + 1)}$

Langkah 9.2.2

Naikkan $x + 1$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)}$

Langkah 9.2.3

Naikkan $x + 1$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}}$

Langkah 9.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{1 + 1}}$

Langkah 9.2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 10

Tentukan gradien $m$ . Dalam hal ini $m = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Hilangkan tanda kurung.

$m = - \frac{1}{{(0 + 1)}^{2}}$

Langkah 10.2

Hilangkan tanda kurung.

$m = - \frac{1}{{((0) + 1)}^{2}}$

Langkah 10.3

Sederhanakan $- \frac{1}{{((0) + 1)}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1.1

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$m = - \frac{1}{1^{2}}$

Langkah 10.3.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$m = - \frac{1}{1}$

Langkah 10.3.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$m = - \frac{1}{1}$

Langkah 10.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$m = - 1 \cdot 1$

Langkah 10.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$m = - 1$

Langkah 11

Gradiennya adalah $m = - 1$ dan titiknya adalah $(0, 1)$ .

$m = - 1, (0, 1)$

Langkah 12

Temukan nilai dari $b$ menggunakan rumus untuk persamaan sebuah garis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Gunakan rumus untuk persamaan garis untuk mencari $b$ .

$y = m x + b$

Langkah 12.2

Substitusikan nilai $m$ ke dalam persamaannya.

$y = (- 1) \cdot x + b$

Langkah 12.3

Substitusikan nilai $x$ ke dalam persamaannya.

$y = (- 1) \cdot (0) + b$

Langkah 12.4

Substitusikan nilai $y$ ke dalam persamaannya.

$1 = (- 1) \cdot (0) + b$

Langkah 12.5

Temukan nilai dari $b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $(- 1) \cdot (0) + b = 1$ .

$(- 1) \cdot (0) + b = 1$

Langkah 12.5.2

Sederhanakan $(- 1) \cdot (0) + b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$0 + b = 1$

Langkah 12.5.2.2

Tambahkan $0$ dan $b$ .

$b = 1$

Langkah 13

Sekarang setelah nilai-nilai dari $m$ (gradien) dan $b$ (perpotongan sumbu y) diketahui, substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam $y = m x + b$ untuk menentukan persamaan garis.

$y = - x + 1$

Langkah 14