Kalkulus Contoh

$y = 5 + 0.6 x - 0.3 x^{2}$

Langkah 1

Mempertimbangkan definisi batas turunannya.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Langkah 2

Tentukan komponen dari definisinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi fungsi pada $x = x + h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $x + h$ pada pernyataan tersebut.

$f (x + h) = 5 + 0.6 (x + h) - 0.3 {(x + h)}^{2}$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 {(x + h)}^{2}$

Langkah 2.1.2.1.2

Tulis kembali ${(x + h)}^{2}$ sebagai $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 ((x + h) (x + h))$

Langkah 2.1.2.1.3

Perluas $(x + h) (x + h)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x (x + h) + h (x + h))$

Langkah 2.1.2.1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Langkah 2.1.2.1.3.3

Terapkan sifat distributif.

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Langkah 2.1.2.1.4

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.4.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Langkah 2.1.2.1.4.1.2

Kalikan $h$ dengan $h$ .

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Langkah 2.1.2.1.4.2

Tambahkan $x h$ dan $h x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.4.2.1

Susun kembali $x$ dan $h$ .

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Langkah 2.1.2.1.4.2.2

Tambahkan $h x$ dan $h x$ .

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Langkah 2.1.2.1.5

Terapkan sifat distributif.

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 x^{2} - 0.3 (2 h x) - 0.3 h^{2}$

Langkah 2.1.2.1.6

Kalikan $2$ dengan $- 0.3$ .

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 x^{2} - 0.6 h x - 0.3 h^{2}$

Langkah 2.1.2.2

Jawaban akhirnya adalah $5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 x^{2} - 0.6 h x - 0.3 h^{2}$ .

$5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 x^{2} - 0.6 h x - 0.3 h^{2}$

Langkah 2.2

Susun kembali.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Pindahkan $5$ .

$0.6 x + 0.6 h - 0.3 x^{2} - 0.6 h x - 0.3 h^{2} + 5$

Langkah 2.2.2

Pindahkan $0.6 x$ .

$0.6 h - 0.3 x^{2} - 0.6 h x - 0.3 h^{2} + 0.6 x + 5$

Langkah 2.2.3

Pindahkan $0.6 h$ .

$- 0.3 x^{2} - 0.6 h x - 0.3 h^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5$

Langkah 2.2.4

Pindahkan $- 0.3 x^{2}$ .

$- 0.6 h x - 0.3 h^{2} - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5$

Langkah 2.2.5

Susun kembali $- 0.6 h x$ dan $- 0.3 h^{2}$ .

$- 0.3 h^{2} - 0.6 h x - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5$

Langkah 2.3

Tentukan komponen dari definisinya.

$f (x + h) = - 0.3 h^{2} - 0.6 h x - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5$

$f (x) = 5 + 0.6 x - 0.3 x^{2}$

$f (x + h) = - 0.3 h^{2} - 0.6 h x - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5$

$f (x) = 5 + 0.6 x - 0.3 x^{2}$

Langkah 3

Masukkan komponen.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 0.3 h^{2} - 0.6 h x - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (5 + 0.6 x - 0.3 x^{2})}{h}$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Faktorkan $0.1$ dari $- 0.3 h^{2} - 0.6 h x - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (5 + 0.6 x - 0.3 x^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1

Susun kembali pernyataan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1.1

Pindahkan $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 0.3 h^{2} - 0.6 x h - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (5 + 0.6 x - 0.3 x^{2})}{h}$

Langkah 4.1.1.1.2

Pindahkan $5$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 0.3 h^{2} - 0.6 x h - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (0.6 x - 0.3 x^{2} + 5)}{h}$

Langkah 4.1.1.1.3

Susun kembali $0.6 x$ dan $- 0.3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 0.3 h^{2} - 0.6 x h - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

Langkah 4.1.1.2

Faktorkan $0.1$ dari $- 0.3 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) - 0.6 x h - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

Langkah 4.1.1.3

Faktorkan $0.1$ dari $- 0.6 x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h) - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

Langkah 4.1.1.4

Faktorkan $0.1$ dari $- 0.3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

Langkah 4.1.1.5

Faktorkan $0.1$ dari $0.6 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (6 h) + 0.6 x + 5 - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

Langkah 4.1.1.6

Faktorkan $0.1$ dari $0.6 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (6 h) + 0.1 (6 x) + 5 - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

Langkah 4.1.1.7

Faktorkan $0.1$ dari $5$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (6 h) + 0.1 (6 x) + 0.1 (50) - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

Langkah 4.1.1.8

Faktorkan $0.1$ dari $- (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (6 h) + 0.1 (6 x) + 0.1 (50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

Langkah 4.1.1.9

Faktorkan $0.1$ dari $0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (6 h) + 0.1 (6 x) + 0.1 (50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

Langkah 4.1.1.10

Faktorkan $0.1$ dari $0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2}) + 0.1 (6 h) + 0.1 (6 x) + 0.1 (50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

Langkah 4.1.1.11

Faktorkan $0.1$ dari $0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2}) + 0.1 (6 h)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h) + 0.1 (6 x) + 0.1 (50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

Langkah 4.1.1.12

Faktorkan $0.1$ dari $0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h) + 0.1 (6 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x) + 0.1 (50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

Langkah 4.1.1.13

Faktorkan $0.1$ dari $0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x) + 0.1 (50)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

Langkah 4.1.1.14

Faktorkan $0.1$ dari $0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50 - 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

Langkah 4.1.2

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50 - 10 (- 0.3 x^{2}) - 10 (0.6 x) - 10 \cdot 5)}{h}$

Langkah 4.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Kalikan $- 0.3$ dengan $- 10$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50 + 3 x^{2} - 10 (0.6 x) - 10 \cdot 5)}{h}$

Langkah 4.1.3.2

Kalikan $0.6$ dengan $- 10$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50 + 3 x^{2} - 6 x - 10 \cdot 5)}{h}$

Langkah 4.1.3.3

Kalikan $- 10$ dengan $5$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50 + 3 x^{2} - 6 x - 50)}{h}$

Langkah 4.1.4

Tambahkan $- 3 x^{2}$ dan $3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 6 x + 50 - 6 x - 50)}{h}$

Langkah 4.1.5

Kurangi $6 x$ dengan $6 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x + 50 - 50)}{h}$

Langkah 4.1.6

Kurangi $50$ dengan $50$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x + 0)}{h}$

Langkah 4.1.7

Tambahkan $- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x$ dan $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x)}{h}$

Langkah 4.1.8

Tulis kembali $- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x$ dalam bentuk faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.8.1

Faktorkan $3$ dari $- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.8.1.1

Faktorkan $3$ dari $- 3 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2}) - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x)}{h}$

Langkah 4.1.8.1.2

Faktorkan $3$ dari $- 6 x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h) + 0 x^{2} + 6 h + 0 x)}{h}$

Langkah 4.1.8.1.3

Faktorkan $3$ dari $0 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h) + 3 (0 x^{2}) + 6 h + 0 x)}{h}$

Langkah 4.1.8.1.4

Faktorkan $3$ dari $6 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h) + 3 (0 x^{2}) + 3 (2 h) + 0 x)}{h}$

Langkah 4.1.8.1.5

Faktorkan $3$ dari $0 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h) + 3 (0 x^{2}) + 3 (2 h) + 3 (0 x))}{h}$

Langkah 4.1.8.1.6

Faktorkan $3$ dari $3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h) + 3 (0 x^{2}) + 3 (2 h) + 3 (0 x))}{h}$

Langkah 4.1.8.1.7

Faktorkan $3$ dari $3 (- h^{2} - 2 x h) + 3 (0 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2}) + 3 (2 h) + 3 (0 x))}{h}$

Langkah 4.1.8.1.8

Faktorkan $3$ dari $3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2}) + 3 (2 h)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2} + 2 h) + 3 (0 x))}{h}$

Langkah 4.1.8.1.9

Faktorkan $3$ dari $3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2} + 2 h) + 3 (0 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2} + 2 h + 0 x))}{h}$

Langkah 4.1.8.2

Kalikan $0$ dengan $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 + 2 h + 0 x))}{h}$

Langkah 4.1.8.3

Kalikan $0$ dengan $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 + 2 h + 0))}{h}$

Langkah 4.1.8.4

Tambahkan $- h^{2} - 2 x h + 0 + 2 h$ dan $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 + 2 h))}{h}$

Langkah 4.1.8.5

Tambahkan $- h^{2}$ dan $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 2 h))}{h}$

Langkah 4.1.8.6

Faktorkan $h$ dari $- h^{2} - 2 x h + 2 h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.8.6.1

Faktorkan $h$ dari $- h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (h (- h) - 2 x h + 2 h))}{h}$

Langkah 4.1.8.6.2

Faktorkan $h$ dari $- 2 x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (h (- h) + h (- 2 x) + 2 h))}{h}$

Langkah 4.1.8.6.3

Faktorkan $h$ dari $2 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (h (- h) + h (- 2 x) + h \cdot 2))}{h}$

Langkah 4.1.8.6.4

Faktorkan $h$ dari $h (- h) + h (- 2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (h (- h - 2 x) + h \cdot 2))}{h}$

Langkah 4.1.8.6.5

Faktorkan $h$ dari $h (- h - 2 x) + h \cdot 2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (h (- h - 2 x + 2)))}{h}$

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 h (- h - 2 x + 2))}{h}$

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 \cdot (3 h (- h - 2 x + 2))}{h}$

Langkah 4.1.9

Kalikan $0.1$ dengan $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.3 h (- h - 2 x + 2)}{h}$

Langkah 4.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.3 h (- h - 2 x + 2)}{h}$

Langkah 4.2.1.2

Bagilah $0.3 (- h - 2 x + 2)$ dengan $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 0.3 (- h - 2 x + 2)$

Langkah 4.2.2

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 0.3 (- h) + 0.3 (- 2 x) + 0.3 \cdot 2$

Langkah 4.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $0.3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 0.3 h + 0.3 (- 2 x) + 0.3 \cdot 2$

Langkah 4.3.2

Kalikan $- 2$ dengan $0.3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 0.3 h - 0.6 x + 0.3 \cdot 2$

Langkah 4.3.3

Kalikan $0.3$ dengan $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 0.3 h - 0.6 x + 0.6$

Langkah 4.4

Susun kembali $- 0.3 h$ dan $- 0.6 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 0.6 x - 0.3 h + 0.6$

Langkah 5

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $h$ mendekati $0$ .

$- lim_{h \to 0} 0.6 x - lim_{h \to 0} 0.3 h + lim_{h \to 0} 0.6$

Langkah 5.2

Evaluasi limit dari $0.6 x$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$- 0.6 x - lim_{h \to 0} 0.3 h + lim_{h \to 0} 0.6$

Langkah 5.3

Pindahkan suku $0.3$ ke luar limit karena konstan terhadap $h$ .

$- 0.6 x - 0.3 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 0.6$

Langkah 5.4

Evaluasi limit dari $0.6$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$- 0.6 x - 0.3 lim_{h \to 0} h + 0.6$

Langkah 6

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$- 0.6 x - 0.3 \cdot 0 + 0.6$

Langkah 7

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- 0.3$ dengan $0$ .

$- 0.6 x + 0 + 0.6$

Langkah 7.2

Tambahkan $- 0.6 x$ dan $0$ .

$- 0.6 x + 0.6$

Langkah 8