Kalkulus Contoh

$\frac{\sin (2 x)}{1 + \sin (2 x)}$

Langkah 1

Atur penyebut dalam $\frac{\sin (2 x)}{1 + \sin (2 x)}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$1 + \sin (2 x) = 0$

Langkah 2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\sin (2 x) = - 1$

Langkah 2.2

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$2 x = \arcsin (- 1)$

Langkah 2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Nilai eksak dari $\arcsin (- 1)$ adalah $- \frac{π}{2}$ .

$2 x = - \frac{π}{2}$

Langkah 2.4

Bagi setiap suku pada $2 x = - \frac{π}{2}$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Bagilah setiap suku di $2 x = - \frac{π}{2}$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Langkah 2.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Langkah 2.4.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Langkah 2.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 2.4.3.2

Kalikan $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.3.2.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 2}$

Langkah 2.4.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Langkah 2.5

Fungsi sinus negatif pada kuadran ketiga dan keempat. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi penyelesaian dari $2 π$ , untuk mencari sudut acuan. Selanjutnya, tambahkan sudut acuan ini ke $π$ untuk mencari penyelesaian pada kuadran ketiga.

$2 x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Langkah 2.6

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Kurangi $2 π$ dengan $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Langkah 2.6.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{3 π}{2}$ positif, lebih kecil dari $2 π$ , dan koterminal dengan $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 2.6.3

Bagi setiap suku pada $2 x = \frac{3 π}{2}$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.3.1

Bagilah setiap suku di $2 x = \frac{3 π}{2}$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Langkah 2.6.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Langkah 2.6.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Langkah 2.6.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.3.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 2.6.3.3.2

Kalikan $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.3.3.2.1

Kalikan $\frac{3 π}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Langkah 2.6.3.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Langkah 2.7

Tentukan periode dari $\sin (2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 2.7.2

Ganti $b$ dengan $2$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Langkah 2.7.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $2$ adalah $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Langkah 2.7.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 π}{2}$

Langkah 2.7.4.2

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 2.8

Tambahkan $π$ ke setiap sudut negatif untuk memperoleh sudut positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Tambahkan $π$ ke $- \frac{π}{4}$ untuk menentukan sudut positif.

$- \frac{π}{4} + π$

Langkah 2.8.2

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Langkah 2.8.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.3.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Langkah 2.8.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Langkah 2.8.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.4.1

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Langkah 2.8.4.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Langkah 2.8.5

Sebutkan sudut-sudut barunya.

$x = \frac{3 π}{4}$

Langkah 2.9

Periode dari fungsi $\sin (2 x)$ adalah $π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2.10

Gabungkan jawabannya.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq \frac{3 π}{4} + π n}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 4

Jangkauannya adalah himpunan dari semua nilai $y$ yang valid. Gunakan grafik untuk mencari intervalnya.

Notasi Interval:

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${y | y \leq - 1, y \geq 1}$

Langkah 5

Tentukan domain dan daerah hasilnya.

Domain: ${x | x \neq \frac{3 π}{4} + π n}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Daerah hasil: $(- \infty, - 1] \cup [1, \infty), {y | y \leq - 1, y \geq 1}$

Langkah 6