Kalkulus Contoh

$32 e^{x} - e^{2 x}$

Langkah 1

Tulis $32 e^{x} - e^{2 x}$ sebagai fungsi.

$f (x) = 32 e^{x} - e^{2 x}$

Langkah 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $32 e^{x} - e^{2 x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [32 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [32 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Langkah 2.1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [32 e^{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.2.1

Karena $32$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $32 e^{x}$ terhadap $x$ adalah $32 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$32 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Langkah 2.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$32 e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Langkah 2.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- e^{2 x}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$32 e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Langkah 2.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$32 e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 2.1.1.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$32 e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 2.1.1.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$32 e^{x} - (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 2.1.1.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$32 e^{x} - (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 2.1.1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$32 e^{x} - (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Langkah 2.1.1.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$32 e^{x} - (e^{2 x} \cdot 2)$

Langkah 2.1.1.3.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{2 x}$ .

$32 e^{x} - (2 \cdot e^{2 x})$

Langkah 2.1.1.3.7

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = 32 e^{x} - 2 e^{2 x}$

Langkah 2.1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $32 e^{x} - 2 e^{2 x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [32 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [32 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$

Langkah 2.1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [32 e^{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Karena $32$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $32 e^{x}$ terhadap $x$ adalah $32 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$32 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$

Langkah 2.1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$32 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$

Langkah 2.1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 e^{2 x}$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$32 e^{x} - 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Langkah 2.1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$32 e^{x} - 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 2.1.2.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$32 e^{x} - 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 2.1.2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$32 e^{x} - 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 2.1.2.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$32 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 2.1.2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$32 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Langkah 2.1.2.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$32 e^{x} - 2 (e^{2 x} \cdot 2)$

Langkah 2.1.2.3.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{2 x}$ .

$32 e^{x} - 2 (2 \cdot e^{2 x})$

Langkah 2.1.2.3.7

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$f'' (x) = 32 e^{x} - 4 e^{2 x}$

Langkah 2.1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $32 e^{x} - 4 e^{2 x}$ .

$32 e^{x} - 4 e^{2 x}$

Langkah 2.2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $32 e^{x} - 4 e^{2 x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$32 e^{x} - 4 e^{2 x} = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Tulis kembali $e^{2 x}$ sebagai ${(e^{x})}^{2}$ .

$32 e^{x} - 4 {(e^{x})}^{2} = 0$

Langkah 2.2.2.2

Biarkan $u = e^{x}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $e^{x}$ .

$32 u - 4 u^{2} = 0$

Langkah 2.2.2.3

Faktorkan $4 u$ dari $32 u - 4 u^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.3.1

Faktorkan $4 u$ dari $32 u$ .

$4 u (8) - 4 u^{2} = 0$

Langkah 2.2.2.3.2

Faktorkan $4 u$ dari $- 4 u^{2}$ .

$4 u (8) + 4 u (- u) = 0$

Langkah 2.2.2.3.3

Faktorkan $4 u$ dari $4 u (8) + 4 u (- u)$ .

$4 u (8 - u) = 0$

Langkah 2.2.2.4

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $e^{x}$ .

$4 e^{x} (8 - e^{x}) = 0$

Langkah 2.2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$e^{x} = 0$

$8 - e^{x} = 0$

Langkah 2.2.4

Atur $e^{x}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Atur $e^{x}$ sama dengan $0$ .

$e^{x} = 0$

Langkah 2.2.4.2

Selesaikan $e^{x} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.2.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Langkah 2.2.4.2.2

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (0)$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 2.2.4.2.3

Tidak ada penyelesaian untuk $e^{x} = 0$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 2.2.5

Atur $8 - e^{x}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1

Atur $8 - e^{x}$ sama dengan $0$ .

$8 - e^{x} = 0$

Langkah 2.2.5.2

Selesaikan $8 - e^{x} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.2.1

Kurangkan $8$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- e^{x} = - 8$

Langkah 2.2.5.2.2

Bagi setiap suku pada $- e^{x} = - 8$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- e^{x} = - 8$ dengan $- 1$ .

$\frac{- e^{x}}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Langkah 2.2.5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{e^{x}}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Langkah 2.2.5.2.2.2.2

Bagilah $e^{x}$ dengan $1$ .

$e^{x} = \frac{- 8}{- 1}$

Langkah 2.2.5.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.2.2.3.1

Bagilah $- 8$ dengan $- 1$ .

$e^{x} = 8$

Langkah 2.2.5.2.3

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (8)$

Langkah 2.2.5.2.4

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.2.4.1

Perluas $\ln (e^{x})$ dengan memindahkan $x$ ke luar logaritma.

$x \ln (e) = \ln (8)$

Langkah 2.2.5.2.4.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (8)$

Langkah 2.2.5.2.4.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x = \ln (8)$

Langkah 2.2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $4 e^{x} (8 - e^{x}) = 0$ benar.

$x = \ln (8)$

Langkah 3

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 4

Buat interval di sekitar nilai $x$ saat turunan keduanya bernilai nol atau tak hingga.

$(- \infty, \ln (8)) \cup (\ln (8), \infty)$

Langkah 5

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(- \infty, \ln (8))$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0) = 32 e^{0} - 4 e^{2 (0)}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$f'' (0) = 32 \cdot 1 - 4 e^{2 (0)}$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $32$ dengan $1$ .

$f'' (0) = 32 - 4 e^{2 (0)}$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$f'' (0) = 32 - 4 e^{0}$

Langkah 5.2.1.4

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$f'' (0) = 32 - 4 \cdot 1$

Langkah 5.2.1.5

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$f'' (0) = 32 - 4$

Langkah 5.2.2

Kurangi $4$ dengan $32$ .

$f'' (0) = 28$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $28$ .

$28$

Langkah 5.3

Grafiknya cekung ke atas pada interval $(- \infty, \ln (8))$ karena $f'' (0)$ positif.

Cekung ke atas pada $(- \infty, \ln (8))$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 6

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(\ln (8), \infty)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $5$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (5) = 32 e^{5} - 4 e^{2 (5)}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$f'' (5) = 32 e^{5} - 4 e^{10}$

Langkah 6.2.2

Jawaban akhirnya adalah $32 e^{5} - 4 e^{10}$ .

$32 e^{5} - 4 e^{10}$

Langkah 6.3

Grafiknya cekung ke bawah pada interval $(\ln (8), \infty)$ karena $f'' (5)$ negatif.

Cekung ke bawah pada $(\ln (8), \infty)$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 7

Grafiknya cekung ke bawah ketika turunan keduanya negatif dan cekung ke atas ketika turunan keduanya positif.

Cekung ke atas pada $(- \infty, \ln (8))$ karena $f'' (x)$ positif

Cekung ke bawah pada $(\ln (8), \infty)$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 8