Kalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt{4 x + 1}$ , $[0, 6]$

Langkah 1

Untuk menentukan rerata nilai fungsi, fungsinya harus kontinu pada interval tertutup $[a, b]$ . Untuk menentukan apakah $f (x)$ kontinu di $[0, 6]$ atau tidak, tentukan domain dari $f (x) = \sqrt{4 x + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{4 x + 1}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$4 x + 1 \geq 0$

Langkah 1.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Kurangkan $1$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$4 x \geq - 1$

Langkah 1.2.2

Bagi setiap suku pada $4 x \geq - 1$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Bagilah setiap suku di $4 x \geq - 1$ dengan $4$ .

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

Langkah 1.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

Langkah 1.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x \geq \frac{- 1}{4}$

Langkah 1.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x \geq - \frac{1}{4}$

Langkah 1.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$[- \frac{1}{4}, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \geq - \frac{1}{4}}$

Notasi Interval:

$[- \frac{1}{4}, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \geq - \frac{1}{4}}$

Langkah 2

$f (x)$ kontinu di $[0, 6]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{0}^{6} \sqrt{4 x + 1} d x)$

Langkah 5

Biarkan $u = 4 x + 1$ . Kemudian $d u = 4 d x$ sehingga $\frac{1}{4} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u = 4 x + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $4 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Langkah 5.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 5.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 5.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 5.1.3.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 5.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.4.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$4 + 0$

Langkah 5.1.4.2

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$4$

Langkah 5.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 4 x + 1$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Langkah 5.3.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 5.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 4 x + 1$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 6 + 1$

Langkah 5.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Kalikan $4$ dengan $6$ .

$u_{upper} = 24 + 1$

Langkah 5.5.2

Tambahkan $24$ dan $1$ .

$u_{upper} = 25$

Langkah 5.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 25$

Langkah 5.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{1}^{25} \sqrt{u} (\frac{1}{4}) d u)$

Langkah 6

Gabungkan $\sqrt{u}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{1}^{25} \frac{\sqrt{u}}{4} d u)$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \int_{1}^{25} \sqrt{u} d u)$

Langkah 8

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \int_{1}^{25} u^{\frac{1}{2}} d u)$

Langkah 9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{25})$

Langkah 10

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Evaluasi $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ pada $25$ dan pada $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot ((\frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Langkah 10.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Langkah 10.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Langkah 10.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Langkah 10.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Langkah 10.2.4

Naikkan $5$ menjadi pangkat $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Langkah 10.2.5

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $125$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2 \cdot 125}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Langkah 10.2.6

Kalikan $2$ dengan $125$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Langkah 10.2.7

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1))$

Langkah 10.2.8

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{250}{3} - \frac{2}{3}))$

Langkah 10.2.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \frac{250 - 2}{3})$

Langkah 10.2.10

Kurangi $2$ dengan $250$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \frac{248}{3})$

Langkah 10.2.11

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{248}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{248}{4 \cdot 3})$

Langkah 10.2.12

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{248}{12})$

Langkah 10.2.13

Hapus faktor persekutuan dari $248$ dan $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.13.1

Faktorkan $4$ dari $248$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{4 (62)}{12})$

Langkah 10.2.13.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.13.2.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{4 \cdot 62}{4 \cdot 3})$

Langkah 10.2.13.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{4 \cdot 62}{4 \cdot 3})$

Langkah 10.2.13.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{62}{3})$

Langkah 11

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 0} \cdot \frac{62}{3}$

Langkah 11.2

Tambahkan $6$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot \frac{62}{3}$

Langkah 12

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2 (3)} \cdot \frac{62}{3}$

Langkah 12.1.2

Faktorkan $2$ dari $62$ .

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot \frac{2 \cdot 31}{3}$

Langkah 12.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot \frac{2 \cdot 31}{3}$

Langkah 12.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{31}{3}$

Langkah 12.2

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{31}{3}$ .

$A (x) = \frac{31}{3 \cdot 3}$

Langkah 12.3

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$A (x) = \frac{31}{9}$

Langkah 13