Kalkulus Contoh

$\int x \cos (3 x) d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \cos (3 x)$ .

$x (\frac{1}{3} \sin (3 x)) - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $\sin (3 x)$ .

$x \frac{\sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Langkah 2.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{\sin (3 x)}{3}$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - (\frac{1}{3} \int \sin (3 x) d x)$

Langkah 4

Biarkan $u = 3 x$ . Kemudian $d u = 3 d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u = 3 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 4.1.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Langkah 4.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Langkah 5

Gabungkan $\sin (u)$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u)$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u) d u$

Langkah 7.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} \int \sin (u) d u$

Langkah 8

Integral dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $- \cos (u)$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C)$

Langkah 9

Tulis kembali $\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C)$ sebagai $\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9} + C$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9} + C$

Langkah 10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (3 x)}{9} + C$

Langkah 11

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{3} x \sin (3 x) + \frac{1}{9} \cos (3 x) + C$