Kalkulus Contoh

${(x^{3} - 8)}^{4}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{4}$ dan $g (x) = x^{3} - 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{3} - 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Langkah 1.1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{3} - 8$ .

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} - 8$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8])$

Langkah 1.1.2.3

Karena $- 8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 8$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} (3 x^{2} + 0)$

Langkah 1.1.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.4.1

Tambahkan $3 x^{2}$ dan $0$ .

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} (3 x^{2})$

Langkah 1.1.2.4.2

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$12 {(x^{3} - 8)}^{3} x^{2}$

Langkah 1.1.2.4.3

Susun kembali faktor-faktor dari $12 {(x^{3} - 8)}^{3} x^{2}$ .

$f' (x) = 12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3}$ .

$12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3} = 0$

Langkah 2.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x^{3} - 8)}^{3} = 0$

Langkah 2.3

Atur $x^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Atur $x^{2}$ sama dengan $0$ .

$x^{2} = 0$

Langkah 2.3.2

Selesaikan $x^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{0}$

Langkah 2.3.2.2

Sederhanakan $\pm \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Langkah 2.3.2.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 0$

Langkah 2.3.2.2.3

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 2.4

Atur ${(x^{3} - 8)}^{3}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur ${(x^{3} - 8)}^{3}$ sama dengan $0$ .

${(x^{3} - 8)}^{3} = 0$

Langkah 2.4.2

Selesaikan ${(x^{3} - 8)}^{3} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1.1

Tulis kembali $8$ sebagai $2^{3}$ .

${(x^{3} - 2^{3})}^{3} = 0$

Langkah 2.4.2.1.2

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat tiga. $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ di mana $a = x$ dan $b = 2$ .

${((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}))}^{3} = 0$

Langkah 2.4.2.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1.3.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

${((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}))}^{3} = 0$

Langkah 2.4.2.1.3.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

${((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4))}^{3} = 0$

Langkah 2.4.2.1.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .

${(x - 2)}^{3} {(x^{2} + 2 x + 4)}^{3} = 0$

Langkah 2.4.2.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

${(x - 2)}^{3} = 0$

${(x^{2} + 2 x + 4)}^{3} = 0$

Langkah 2.4.2.3

Atur ${(x - 2)}^{3}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.3.1

Atur ${(x - 2)}^{3}$ sama dengan $0$ .

${(x - 2)}^{3} = 0$

Langkah 2.4.2.3.2

Selesaikan ${(x - 2)}^{3} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.3.2.1

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 2.4.2.3.2.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 2.4.2.4

Atur ${(x^{2} + 2 x + 4)}^{3}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.4.1

Atur ${(x^{2} + 2 x + 4)}^{3}$ sama dengan $0$ .

${(x^{2} + 2 x + 4)}^{3} = 0$

Langkah 2.4.2.4.2

Selesaikan ${(x^{2} + 2 x + 4)}^{3} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.4.2.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x^{2} + 2 x + 4 = \sqrt[3]{0}$

Langkah 2.4.2.4.2.2

Sederhanakan $\sqrt[3]{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.4.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = \sqrt[3]{0^{3}}$

Langkah 2.4.2.4.2.2.2

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Langkah 2.4.2.4.2.3

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 2.4.2.4.2.4

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = 2$ , dan $c = 4$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.4.2.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.4.2.5.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.2.5.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.4.2.5.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.2.5.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.2.5.1.3

Kurangi $16$ dengan $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.2.5.1.4

Tulis kembali $- 12$ sebagai $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.2.5.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (12)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.2.5.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.2.5.1.7

Tulis kembali $12$ sebagai $2^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.4.2.5.1.7.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.2.5.1.7.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.2.5.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.2.5.1.9

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.2.5.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 2.4.2.4.2.5.3

Sederhanakan $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Langkah 2.4.2.4.2.6

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.4.2.6.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.4.2.6.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.2.6.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.4.2.6.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.2.6.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.2.6.1.3

Kurangi $16$ dengan $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.2.6.1.4

Tulis kembali $- 12$ sebagai $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.2.6.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (12)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.2.6.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.2.6.1.7

Tulis kembali $12$ sebagai $2^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.4.2.6.1.7.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.2.6.1.7.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.2.6.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.2.6.1.9

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.2.6.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 2.4.2.4.2.6.3

Sederhanakan $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Langkah 2.4.2.4.2.6.4

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Langkah 2.4.2.4.2.7

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.4.2.7.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.4.2.7.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.2.7.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.4.2.7.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.2.7.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.2.7.1.3

Kurangi $16$ dengan $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.2.7.1.4

Tulis kembali $- 12$ sebagai $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.2.7.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (12)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.2.7.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.2.7.1.7

Tulis kembali $12$ sebagai $2^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.4.2.7.1.7.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.2.7.1.7.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.2.7.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.2.7.1.9

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.4.2.7.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 2.4.2.4.2.7.3

Sederhanakan $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Langkah 2.4.2.4.2.7.4

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Langkah 2.4.2.4.2.8

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Langkah 2.4.2.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat ${(x - 2)}^{3} {(x^{2} + 2 x + 4)}^{3} = 0$ benar.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Langkah 2.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3} = 0$ benar.

$x = 0, 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 4

Evaluasi ${(x^{3} - 8)}^{4}$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

${({(0)}^{3} - 8)}^{4}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

${(0 - 8)}^{4}$

Langkah 4.1.2.2

Kurangi $8$ dengan $0$ .

${(- 8)}^{4}$

Langkah 4.1.2.3

Naikkan $- 8$ menjadi pangkat $4$ .

$4096$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $2$ untuk $x$ .

${({(2)}^{3} - 8)}^{4}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

${(8 - 8)}^{4}$

Langkah 4.2.2.2

Kurangi $8$ dengan $8$ .

$0^{4}$

Langkah 4.2.2.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$0$

Langkah 4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(0, 4096), (2, 0)$

Langkah 5