Kalkulus Contoh

$t^{4} + t^{3} + t^{2} + 1$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $t^{4} + t^{3} + t^{2} + 1$ terhadap $t$ adalah $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$4 t^{3} + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$4 t^{3} + 3 t^{2} + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t + \frac{d}{d t} [1]$

Langkah 1.1.5

Karena $1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $1$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t + 0$

Langkah 1.1.6

Tambahkan $4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$ dan $0$ .

$f' (t) = 4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (t)$ terhadap $t$ adalah $4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$ .

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan $t$ dari $4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $t$ dari $4 t^{3}$ .

$t (4 t^{2}) + 3 t^{2} + 2 t = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan $t$ dari $3 t^{2}$ .

$t (4 t^{2}) + t (3 t) + 2 t = 0$

Langkah 2.2.3

Faktorkan $t$ dari $2 t$ .

$t (4 t^{2}) + t (3 t) + t \cdot 2 = 0$

Langkah 2.2.4

Faktorkan $t$ dari $t (4 t^{2}) + t (3 t)$ .

$t (4 t^{2} + 3 t) + t \cdot 2 = 0$

Langkah 2.2.5

Faktorkan $t$ dari $t (4 t^{2} + 3 t) + t \cdot 2$ .

$t (4 t^{2} + 3 t + 2) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$t = 0$

$4 t^{2} + 3 t + 2 = 0$

Langkah 2.4

Atur $t$ sama dengan $0$ .

$t = 0$

Langkah 2.5

Atur $4 t^{2} + 3 t + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $4 t^{2} + 3 t + 2$ sama dengan $0$ .

$4 t^{2} + 3 t + 2 = 0$

Langkah 2.5.2

Selesaikan $4 t^{2} + 3 t + 2 = 0$ untuk $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 2.5.2.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 4$ , $b = 3$ , dan $c = 2$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $t$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 2)}}{2 \cdot 4}$

Langkah 2.5.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.3.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Langkah 2.5.2.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 4 \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Langkah 2.5.2.3.1.2.2

Kalikan $- 16$ dengan $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 4}$

Langkah 2.5.2.3.1.3

Kurangi $32$ dengan $9$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 4}$

Langkah 2.5.2.3.1.4

Tulis kembali $- 23$ sebagai $- 1 (23)$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 4}$

Langkah 2.5.2.3.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (23)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Langkah 2.5.2.3.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Langkah 2.5.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{8}$

Langkah 2.5.2.4

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.4.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Langkah 2.5.2.4.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 4 \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.4.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Langkah 2.5.2.4.1.2.2

Kalikan $- 16$ dengan $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 4}$

Langkah 2.5.2.4.1.3

Kurangi $32$ dengan $9$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 4}$

Langkah 2.5.2.4.1.4

Tulis kembali $- 23$ sebagai $- 1 (23)$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 4}$

Langkah 2.5.2.4.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (23)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Langkah 2.5.2.4.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Langkah 2.5.2.4.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{8}$

Langkah 2.5.2.4.3

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$t = \frac{- 3 + i \sqrt{23}}{8}$

Langkah 2.5.2.4.4

Tulis kembali $- 3$ sebagai $- 1 (3)$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{23}}{8}$

Langkah 2.5.2.4.5

Faktorkan $- 1$ dari $i \sqrt{23}$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{23})}{8}$

Langkah 2.5.2.4.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (3) - (- i \sqrt{23})$ .

$t = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{23})}{8}$

Langkah 2.5.2.4.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$t = - \frac{3 - i \sqrt{23}}{8}$

Langkah 2.5.2.5

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.5.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Langkah 2.5.2.5.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 4 \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.5.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Langkah 2.5.2.5.1.2.2

Kalikan $- 16$ dengan $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 4}$

Langkah 2.5.2.5.1.3

Kurangi $32$ dengan $9$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 4}$

Langkah 2.5.2.5.1.4

Tulis kembali $- 23$ sebagai $- 1 (23)$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 4}$

Langkah 2.5.2.5.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (23)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Langkah 2.5.2.5.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Langkah 2.5.2.5.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{8}$

Langkah 2.5.2.5.3

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$t = \frac{- 3 - i \sqrt{23}}{8}$

Langkah 2.5.2.5.4

Tulis kembali $- 3$ sebagai $- 1 (3)$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{23}}{8}$

Langkah 2.5.2.5.5

Faktorkan $- 1$ dari $- i \sqrt{23}$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{23})}{8}$

Langkah 2.5.2.5.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (3) - (i \sqrt{23})$ .

$t = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{23})}{8}$

Langkah 2.5.2.5.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$t = - \frac{3 + i \sqrt{23}}{8}$

Langkah 2.5.2.6

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$t = - \frac{3 - i \sqrt{23}}{8}, - \frac{3 + i \sqrt{23}}{8}$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $t (4 t^{2} + 3 t + 2) = 0$ benar.

$t = 0, - \frac{3 - i \sqrt{23}}{8}, - \frac{3 + i \sqrt{23}}{8}$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 4

Evaluasi $t^{4} + t^{3} + t^{2} + 1$ di setiap nilai $t$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $t = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $0$ untuk $t$ .

${(0)}^{4} + {(0)}^{3} + {(0)}^{2} + 1$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$0 + {(0)}^{3} + {(0)}^{2} + 1$

Langkah 4.1.2.1.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$0 + 0 + {(0)}^{2} + 1$

Langkah 4.1.2.1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$0 + 0 + 0 + 1$

Langkah 4.1.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$0 + 0 + 1$

Langkah 4.1.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$0 + 1$

Langkah 4.1.2.2.3

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$1$

Langkah 4.2

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(0, 1)$

Langkah 5