Kalkulus Contoh

$x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y + 2 x + 4 y + 7$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y + 2 x + 4 y + 7$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 1.1.1.3

Karena $2 y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 0 + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $2 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x y$ terhadap $x$ adalah $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 0 + 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 x + 0 + 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 x + 0 + 2 y + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 0 + 2 y + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 x + 0 + 2 y + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 x + 0 + 2 y + 2 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $4 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 0 + 2 y + 2 + 0 + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 1.1.4.2

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 0 + 2 y + 2 + 0 + 0$

Langkah 1.1.5

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 x + 2 y + 2 + 0 + 0$

Langkah 1.1.5.2

Tambahkan $2 x + 2 y + 2$ dan $0$ .

$2 x + 2 y + 2 + 0$

Langkah 1.1.5.3

Tambahkan $2 x + 2 y + 2$ dan $0$ .

$f' (x) = 2 x + 2 y + 2$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $2 x + 2 y + 2$ .

$2 x + 2 y + 2$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $2 x + 2 y + 2 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$2 x + 2 y + 2 = 0$

Langkah 2.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kurangkan $2 y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x + 2 = - 2 y$

Langkah 2.2.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x = - 2 y - 2$

Langkah 2.3

Bagi setiap suku pada $2 x = - 2 y - 2$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah setiap suku di $2 x = - 2 y - 2$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 2 y}{2} + \frac{- 2}{2}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 2 y}{2} + \frac{- 2}{2}$

Langkah 2.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 2 y}{2} + \frac{- 2}{2}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 y$ .

$x = \frac{2 (- y)}{2} + \frac{- 2}{2}$

Langkah 2.3.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$x = \frac{2 (- y)}{2 (1)} + \frac{- 2}{2}$

Langkah 2.3.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{2 (- y)}{2 \cdot 1} + \frac{- 2}{2}$

Langkah 2.3.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{- y}{1} + \frac{- 2}{2}$

Langkah 2.3.3.1.1.2.4

Bagilah $- y$ dengan $1$ .

$x = - y + \frac{- 2}{2}$

Langkah 2.3.3.1.2

Bagilah $- 2$ dengan $2$ .

$x = - y - 1$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 4

Evaluasi $x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y + 2 x + 4 y + 7$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = - y - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $- y - 1$ untuk $x$ .

${(- y - 1)}^{2} + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Tulis kembali ${(- y - 1)}^{2}$ sebagai $(- y - 1) (- y - 1)$ .

$(- y - 1) (- y - 1) + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Langkah 4.1.2.1.2

Perluas $(- y - 1) (- y - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$- y (- y - 1) - 1 (- y - 1) + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Langkah 4.1.2.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$- y (- y) - y \cdot - 1 - 1 (- y - 1) + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Langkah 4.1.2.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$- y (- y) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Langkah 4.1.2.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.3.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- 1 \cdot - 1 y \cdot y - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Langkah 4.1.2.1.3.1.2

Kalikan $y$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.3.1.2.1

Pindahkan $y$ .

$- 1 \cdot - 1 (y \cdot y) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Langkah 4.1.2.1.3.1.2.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$- 1 \cdot - 1 y^{2} - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Langkah 4.1.2.1.3.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 y^{2} - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Langkah 4.1.2.1.3.1.4

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$y^{2} - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Langkah 4.1.2.1.3.1.5

Kalikan $- y \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.3.1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y^{2} + 1 y - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Langkah 4.1.2.1.3.1.5.2

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$y^{2} + y - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Langkah 4.1.2.1.3.1.6

Kalikan $- 1 (- y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.3.1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y^{2} + y + 1 y - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Langkah 4.1.2.1.3.1.6.2

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$y^{2} + y + y - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Langkah 4.1.2.1.3.1.7

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y^{2} + y + y + 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Langkah 4.1.2.1.3.2

Tambahkan $y$ dan $y$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Langkah 4.1.2.1.4

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} + (2 (- y) + 2 \cdot - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Langkah 4.1.2.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} + (- 2 y + 2 \cdot - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Langkah 4.1.2.1.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} + (- 2 y - 2) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Langkah 4.1.2.1.7

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y \cdot y - 2 y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Langkah 4.1.2.1.8

Kalikan $y$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.8.1

Pindahkan $y$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 (y \cdot y) - 2 y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Langkah 4.1.2.1.8.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Langkah 4.1.2.1.9

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y + 2 (- y) + 2 \cdot - 1 + 4 y + 7$

Langkah 4.1.2.1.10

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y - 2 y + 2 \cdot - 1 + 4 y + 7$

Langkah 4.1.2.1.11

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y - 2 y - 2 + 4 y + 7$

Langkah 4.1.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Gabungkan suku balikan dalam $y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y - 2 y - 2 + 4 y + 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1.1

Kurangi $2 y^{2}$ dengan $2 y^{2}$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 0 - 2 y - 2 y - 2 + 4 y + 7$

Langkah 4.1.2.2.1.2

Tambahkan $y^{2} + 2 y + 1$ dan $0$ .

$y^{2} + 2 y + 1 - 2 y - 2 y - 2 + 4 y + 7$

Langkah 4.1.2.2.1.3

Kurangi $2 y$ dengan $2 y$ .

$y^{2} + 0 + 1 - 2 y - 2 + 4 y + 7$

Langkah 4.1.2.2.1.4

Tambahkan $y^{2}$ dan $0$ .

$y^{2} + 1 - 2 y - 2 + 4 y + 7$

Langkah 4.1.2.2.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$y^{2} - 2 y - 1 + 4 y + 7$

Langkah 4.1.2.2.3

Tambahkan $- 2 y$ dan $4 y$ .

$y^{2} + 2 y - 1 + 7$

Langkah 4.1.2.2.4

Tambahkan $- 1$ dan $7$ .

$y^{2} + 2 y + 6$

Langkah 4.2

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(- y - 1, y^{2} + 2 y + 6)$

Langkah 5