Kalkulus Contoh

$10 \sec (x) + 5 \tan (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $10 \sec (x) + 5 \tan (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [10 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [10 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [10 \sec (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $10$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $10 \sec (x)$ terhadap $x$ adalah $10 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$

Langkah 1.1.2.2

Turunan dari $\sec (x)$ terhadap $x$ adalah $\sec (x) \tan (x)$ .

$10 \sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 \tan (x)$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$10 \sec (x) \tan (x) + 5 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Langkah 1.1.3.2

Turunan dari $\tan (x)$ terhadap $x$ adalah $\sec^{2} (x)$ .

$f' (x) = 10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x)$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x)$ .

$10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x)$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) = 0$

Langkah 2.2

Gambarkan setiap sisi persamaan. Penyelesaiannya adalah nilai x dari titik perpotongan.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur argumen dalam $\sec (x)$ agar sama dengan $\frac{π}{2} + π n$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3.2

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , untuk bilangan bulat apa pun $n$

Langkah 4

Evaluasi $10 \sec (x) + 5 \tan (x)$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = \frac{7 π}{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $\frac{7 π}{6}$ untuk $x$ .

$10 \sec (\frac{7 π}{6}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Terapkan sudut acuan dengan menentukan sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataan negatif karena sekan negatif di kuadran ketiga.

$10 (- \sec (\frac{π}{6})) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Langkah 4.1.2.1.2

Nilai eksak dari $\sec (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$10 (- \frac{2}{\sqrt{3}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Langkah 4.1.2.1.3

Kalikan $\frac{2}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$10 (- (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Langkah 4.1.2.1.4

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.4.1

Kalikan $\frac{2}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Langkah 4.1.2.1.4.2

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Langkah 4.1.2.1.4.3

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Langkah 4.1.2.1.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Langkah 4.1.2.1.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Langkah 4.1.2.1.4.6

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.4.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Langkah 4.1.2.1.4.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Langkah 4.1.2.1.4.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Langkah 4.1.2.1.4.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.4.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Langkah 4.1.2.1.4.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Langkah 4.1.2.1.4.6.5

Evaluasi eksponennya.

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Langkah 4.1.2.1.5

Kalikan $10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $10$ .

$- 10 \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Langkah 4.1.2.1.5.2

Gabungkan $- 10$ dan $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{- 10 (2 \sqrt{3})}{3} + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Langkah 4.1.2.1.5.3

Kalikan $2$ dengan $- 10$ .

$\frac{- 20 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Langkah 4.1.2.1.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Langkah 4.1.2.1.7

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$- \frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{π}{6})$

Langkah 4.1.2.1.8

Nilai eksak dari $\tan (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Langkah 4.1.2.1.9

Gabungkan $5$ dan $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{20 \sqrt{3}}{3} + \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Langkah 4.1.2.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 20 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3}}{3}$

Langkah 4.1.2.2.2

Tambahkan $- 20 \sqrt{3}$ dan $5 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 15 \sqrt{3}}{3}$

Langkah 4.1.2.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $- 15$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.3.1

Faktorkan $3$ dari $- 15 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (- 5 \sqrt{3})}{3}$

Langkah 4.1.2.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{3 (- 5 \sqrt{3})}{3 (1)}$

Langkah 4.1.2.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 (- 5 \sqrt{3})}{3 \cdot 1}$

Langkah 4.1.2.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 5 \sqrt{3}}{1}$

Langkah 4.1.2.2.3.2.4

Bagilah $- 5 \sqrt{3}$ dengan $1$ .

$- 5 \sqrt{3}$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = \frac{11 π}{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $\frac{11 π}{6}$ untuk $x$ .

$10 \sec (\frac{11 π}{6}) + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$10 \sec (\frac{π}{6}) + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Langkah 4.2.2.1.2

Nilai eksak dari $\sec (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$10 \frac{2}{\sqrt{3}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Langkah 4.2.2.1.3

Kalikan $\frac{2}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$10 (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}) + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Langkah 4.2.2.1.4

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.4.1

Kalikan $\frac{2}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Langkah 4.2.2.1.4.2

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Langkah 4.2.2.1.4.3

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Langkah 4.2.2.1.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Langkah 4.2.2.1.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Langkah 4.2.2.1.4.6

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.4.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Langkah 4.2.2.1.4.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Langkah 4.2.2.1.4.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Langkah 4.2.2.1.4.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.4.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Langkah 4.2.2.1.4.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Langkah 4.2.2.1.4.6.5

Evaluasi eksponennya.

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Langkah 4.2.2.1.5

Kalikan $10 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.5.1

Gabungkan $10$ dan $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{10 (2 \sqrt{3})}{3} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Langkah 4.2.2.1.5.2

Kalikan $2$ dengan $10$ .

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Langkah 4.2.2.1.6

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena tangen negatif di kuadran keempat.

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 (- \tan (\frac{π}{6}))$

Langkah 4.2.2.1.7

Nilai eksak dari $\tan (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Langkah 4.2.2.1.8

Kalikan $5 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.8.1

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} - 5 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Langkah 4.2.2.1.8.2

Gabungkan $- 5$ dan $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} + \frac{- 5 \sqrt{3}}{3}$

Langkah 4.2.2.1.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Langkah 4.2.2.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{20 \sqrt{3} - 5 \sqrt{3}}{3}$

Langkah 4.2.2.2.2

Kurangi $5 \sqrt{3}$ dengan $20 \sqrt{3}$ .

$\frac{15 \sqrt{3}}{3}$

Langkah 4.2.2.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $15$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.3.1

Faktorkan $3$ dari $15 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (5 \sqrt{3})}{3}$

Langkah 4.2.2.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{3 (5 \sqrt{3})}{3 (1)}$

Langkah 4.2.2.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 (5 \sqrt{3})}{3 \cdot 1}$

Langkah 4.2.2.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{5 \sqrt{3}}{1}$

Langkah 4.2.2.2.3.2.4

Bagilah $5 \sqrt{3}$ dengan $1$ .

$5 \sqrt{3}$

Langkah 4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(\frac{7 π}{6} + 2 π n, - 5 \sqrt{3}), (\frac{11 π}{6} + 2 π n, 5 \sqrt{3})$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 5