Kalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt{25 - x^{2}}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{25 - x^{2}}$ sebagai ${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = 25 - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $25 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (25 - x^{2})$

Langkah 1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $25 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (25 - x^{2})$

Langkah 1.1.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (25 - x^{2})$

Langkah 1.1.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (25 - x^{2})$

Langkah 1.1.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(25 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (25 - x^{2})$

Langkah 1.1.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(25 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (25 - x^{2})$

Langkah 1.1.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(25 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (25 - x^{2})$

Langkah 1.1.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (25 - x^{2})$

Langkah 1.1.7.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (25 - x^{2})$

Langkah 1.1.7.3

Pindahkan ${(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (25 - x^{2})$

Langkah 1.1.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $25 - x^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (25) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Langkah 1.1.9

Karena $25$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $25$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Langkah 1.1.10

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Langkah 1.1.11

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2})$

Langkah 1.1.12

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x))$

Langkah 1.1.13

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.13.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x)$

Langkah 1.1.13.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x$

Langkah 1.1.13.3

Gabungkan $\frac{- 2}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.1.13.4

Faktorkan $2$ dari $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.1.14

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.14.1

Faktorkan $2$ dari $2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 ({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Langkah 1.1.14.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.1.14.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (x) = \frac{- x}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.1.15

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = - \frac{x}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{x}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{x}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- \frac{x}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$x = 0$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Ubah persamaan dengan eksponen pecahan menjadi akar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$- \frac{x}{\sqrt{{(25 - x^{2})}^{1}}}$

Langkah 3.1.2

Apa pun yang dipangkatkan ke $1$ sama dengan bilangan pokok itu sendiri.

$- \frac{x}{\sqrt{25 - x^{2}}}$

Langkah 3.2

Atur penyebut dalam $\frac{x}{\sqrt{25 - x^{2}}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$\sqrt{25 - x^{2}} = 0$

Langkah 3.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${\sqrt{25 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{25 - x^{2}}$ sebagai ${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Langkah 3.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Sederhanakan ${({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Langkah 3.3.2.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Langkah 3.3.2.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(25 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Langkah 3.3.2.2.1.2

Sederhanakan.

$25 - x^{2} = 0^{2}$

Langkah 3.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$25 - x^{2} = 0$

Langkah 3.3.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Kurangkan $25$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x^{2} = - 25$

Langkah 3.3.3.2

Bagi setiap suku pada $- x^{2} = - 25$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.1

Bagilah setiap suku di $- x^{2} = - 25$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 25}{- 1}$

Langkah 3.3.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 25}{- 1}$

Langkah 3.3.3.2.2.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{- 25}{- 1}$

Langkah 3.3.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.3.1

Bagilah $- 25$ dengan $- 1$ .

$x^{2} = 25$

Langkah 3.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25}$

Langkah 3.3.3.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{25}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.4.1

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Langkah 3.3.3.4.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 5$

Langkah 3.3.3.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 5$

Langkah 3.3.3.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 5$

Langkah 3.3.3.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 5, - 5$

Langkah 3.4

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{25 - x^{2}}$ agar lebih kecil dari $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$25 - x^{2} < 0$

Langkah 3.5

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Kurangkan $25$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$- x^{2} < - 25$

Langkah 3.5.2

Bagi setiap suku pada $- x^{2} < - 25$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Bagi setiap suku dalam $- x^{2} < - 25$ dengan $- 1$ . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 25}{- 1}$

Langkah 3.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 25}{- 1}$

Langkah 3.5.2.2.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} > \frac{- 25}{- 1}$

Langkah 3.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.3.1

Bagilah $- 25$ dengan $- 1$ .

$x^{2} > 25$

Langkah 3.5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{25}$

Langkah 3.5.4

Sederhanakan persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1.1

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$| x | > \sqrt{25}$

Langkah 3.5.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.2.1

Sederhanakan $\sqrt{25}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.2.1.1

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$| x | > \sqrt{5^{2}}$

Langkah 3.5.4.2.1.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$| x | > | 5 |$

Langkah 3.5.4.2.1.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $5$ adalah $5$ .

$| x | > 5$

Langkah 3.5.5

Tulis $| x | > 5$ sebagai fungsi sesepenggal.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.5.1

Untuk mencari interval bagian pertama, tentukan di mana bagian dalam dari nilai mutlaknya tidak negatif.

$x \geq 0$

Langkah 3.5.5.2

Pada bagian di mana $x$ non-negatif, hapus nilai mutlaknya.

$x > 5$

Langkah 3.5.5.3

Untuk mencari interval bagian kedua, tentukan di mana bagian dalam dari nilai mutlaknya negatif.

$x < 0$

Langkah 3.5.5.4

Pada bagian di mana $x$ negatif, hapus nilai mutlaknya dan kalikan dengan $- 1$ .

$- x > 5$

Langkah 3.5.5.5

Tulis sebagai fungsi sesepenggal.

${\begin{cases} x > 5 & x \geq 0 \\ - x > 5 & x < 0 \end{cases}$

Langkah 3.5.6

Tentukan irisan dari $x > 5$ dan $x \geq 0$ .

$x > 5$

Langkah 3.5.7

Bagi setiap suku pada $- x > 5$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.1

Bagi setiap suku dalam $- x > 5$ dengan $- 1$ . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{5}{- 1}$

Langkah 3.5.7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} < \frac{5}{- 1}$

Langkah 3.5.7.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x < \frac{5}{- 1}$

Langkah 3.5.7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.3.1

Bagilah $5$ dengan $- 1$ .

$x < - 5$

Langkah 3.5.8

Tentukan gabungan dari penyelesaian-penyelesaiannya.

$x < - 5$ atau $x > 5$

Langkah 3.6

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$x \leq - 5, x \geq 5$

$(- \infty, - 5] \cup [5, \infty)$

$x \leq - 5, x \geq 5$

$(- \infty, - 5] \cup [5, \infty)$

Langkah 4

Evaluasi $\sqrt{25 - x^{2}}$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$\sqrt{25 - {(0)}^{2}}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\sqrt{25 - 0}$

Langkah 4.1.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\sqrt{25 + 0}$

Langkah 4.1.2.3

Tambahkan $25$ dan $0$ .

$\sqrt{25}$

Langkah 4.1.2.4

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2}}$

Langkah 4.1.2.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$5$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = - 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $- 5$ untuk $x$ .

$\sqrt{25 - {(- 5)}^{2}}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Naikkan $- 5$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{25 - 1 \cdot 25}$

Langkah 4.2.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $25$ .

$\sqrt{25 - 25}$

Langkah 4.2.2.3

Kurangi $25$ dengan $25$ .

$\sqrt{0}$

Langkah 4.2.2.4

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Langkah 4.2.2.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$0$

Langkah 4.3

Evaluasi pada $x = 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $5$ untuk $x$ .

$\sqrt{25 - {(5)}^{2}}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{25 - 1 \cdot 25}$

Langkah 4.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $25$ .

$\sqrt{25 - 25}$

Langkah 4.3.2.3

Kurangi $25$ dengan $25$ .

$\sqrt{0}$

Langkah 4.3.2.4

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Langkah 4.3.2.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$0$

Langkah 4.4

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(0, 5), (- 5, 0), (5, 0)$

Langkah 5