Kalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x^{2} - 1}$ sebagai ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x^{2} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Langkah 1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Langkah 1.1.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Langkah 1.1.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Langkah 1.1.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Langkah 1.1.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Langkah 1.1.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Langkah 1.1.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Langkah 1.1.7.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Langkah 1.1.7.3

Pindahkan ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Langkah 1.1.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 1.1.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 1.1.10

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Langkah 1.1.11

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.11.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Langkah 1.1.11.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} x$

Langkah 1.1.11.3

Gabungkan $\frac{2}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.1.11.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.1.11.5

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$x = 0$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Ubah persamaan dengan eksponen pecahan menjadi akar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$\frac{x}{\sqrt{{(x^{2} - 1)}^{1}}}$

Langkah 3.1.2

Apa pun yang dipangkatkan ke $1$ sama dengan bilangan pokok itu sendiri.

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

Langkah 3.2

Atur penyebut dalam $\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$\sqrt{x^{2} - 1} = 0$

Langkah 3.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${\sqrt{x^{2} - 1}}^{2} = 0^{2}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x^{2} - 1}$ sebagai ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Langkah 3.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Sederhanakan ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Langkah 3.3.2.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Langkah 3.3.2.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(x^{2} - 1)}^{1} = 0^{2}$

Langkah 3.3.2.2.1.2

Sederhanakan.

$x^{2} - 1 = 0^{2}$

Langkah 3.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Langkah 3.3.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{2} = 1$

Langkah 3.3.3.2

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{1}$

Langkah 3.3.3.3

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$x = \pm 1$

Langkah 3.3.3.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 1$

Langkah 3.3.3.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 1$

Langkah 3.3.3.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 1, - 1$

Langkah 3.4

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{x^{2} - 1}$ agar lebih kecil dari $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x^{2} - 1 < 0$

Langkah 3.5

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Tambahkan $1$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$x^{2} < 1$

Langkah 3.5.2

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi pertidaksamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$\sqrt{x^{2}} < \sqrt{1}$

Langkah 3.5.3

Sederhanakan persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1.1

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$| x | < \sqrt{1}$

Langkah 3.5.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.2.1

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$| x | < 1$

Langkah 3.5.4

Tulis $| x | < 1$ sebagai fungsi sesepenggal.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1

Untuk mencari interval bagian pertama, tentukan di mana bagian dalam dari nilai mutlaknya tidak negatif.

$x \geq 0$

Langkah 3.5.4.2

Pada bagian di mana $x$ non-negatif, hapus nilai mutlaknya.

$x < 1$

Langkah 3.5.4.3

Untuk mencari interval bagian kedua, tentukan di mana bagian dalam dari nilai mutlaknya negatif.

$x < 0$

Langkah 3.5.4.4

Pada bagian di mana $x$ negatif, hapus nilai mutlaknya dan kalikan dengan $- 1$ .

$- x < 1$

Langkah 3.5.4.5

Tulis sebagai fungsi sesepenggal.

${\begin{cases} x < 1 & x \geq 0 \\ - x < 1 & x < 0 \end{cases}$

Langkah 3.5.5

Tentukan irisan dari $x < 1$ dan $x \geq 0$ .

$0 \leq x < 1$

Langkah 3.5.6

Selesaikan $- x < 1$ ketika $x < 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.6.1

Bagi setiap suku pada $- x < 1$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.6.1.1

Bagi setiap suku dalam $- x < 1$ dengan $- 1$ . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{1}{- 1}$

Langkah 3.5.6.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.6.1.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} > \frac{1}{- 1}$

Langkah 3.5.6.1.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x > \frac{1}{- 1}$

Langkah 3.5.6.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.6.1.3.1

Bagilah $1$ dengan $- 1$ .

$x > - 1$

Langkah 3.5.6.2

Tentukan irisan dari $x > - 1$ dan $x < 0$ .

$- 1 < x < 0$

Langkah 3.5.7

Tentukan gabungan dari penyelesaian-penyelesaiannya.

$- 1 < x < 1$

Langkah 3.6

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$- 1 \leq x \leq 1$

$[- 1, 1]$

$- 1 \leq x \leq 1$

$[- 1, 1]$

Langkah 4

Evaluasi $\sqrt{x^{2} - 1}$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$\sqrt{{(0)}^{2} - 1}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\sqrt{0 - 1}$

Langkah 4.1.2.2

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$\sqrt{- 1}$

Langkah 4.1.2.3

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$i$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $- 1$ untuk $x$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} - 1}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{1 - 1}$

Langkah 4.2.2.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\sqrt{0}$

Langkah 4.2.2.3

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Langkah 4.2.2.4

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$0$

Langkah 4.3

Evaluasi pada $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $1$ untuk $x$ .

$\sqrt{{(1)}^{2} - 1}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\sqrt{1 - 1}$

Langkah 4.3.2.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\sqrt{0}$

Langkah 4.3.2.3

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Langkah 4.3.2.4

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$0$

Langkah 4.4

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(- 1, 0), (1, 0)$

Langkah 5