Kalkulus Contoh

$\sum_{n = 1}^{6} {(\frac{1}{4})}^{n - 1}$

Langkah 1

Jumlah deret geometri berhingga dapat ditentukan menggunakan rumus $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ di mana $a$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasio antara dua suku berturut-turut.

Langkah 2

Tentukan rasio dari dua suku berturut-turut dengan memasukkan ke dalam rumus $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Substitusikan $a_{n}$ dan $a_{n + 1}$ ke dalam rumus untuk $r$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n + 1 - 1}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1}}$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Hapus faktor persekutuan dari ${(\frac{1}{4})}^{n + 1 - 1}$ dan ${(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Faktorkan ${(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ dari ${(\frac{1}{4})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1}}$

Langkah 2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} \cdot 1}$

Langkah 2.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} \cdot 1}$

Langkah 2.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Langkah 2.2.1.2.4

Bagilah ${(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}$ dengan $1$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Langkah 2.2.2

Tambahkan $n$ dan $0$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{n - (n - 1)}$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Terapkan sifat distributif.

$r = {(\frac{1}{4})}^{n - n - - 1}$

Langkah 2.2.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{n - n + 1}$

Langkah 2.2.4

Kurangi $n$ dengan $n$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{0 + 1}$

Langkah 2.2.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{1}$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan.

$r = \frac{1}{4}$

Langkah 3

Tentukan suku pertama dalam deret dengan mensubstitusikan ke dalam batas bawah dan menyederhanakannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $1$ untuk $n$ ke dalam ${(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ .

$a = {(\frac{1}{4})}^{1 - 1}$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$a = {(\frac{1}{4})}^{0}$

Langkah 3.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{4}$ .

$a = \frac{1^{0}}{4^{0}}$

Langkah 3.2.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$a = \frac{1}{4^{0}}$

Langkah 3.2.4

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

Langkah 3.2.5

Bagilah $1$ dengan $1$ .

$a = 1$

Langkah 4

Substitusikan nilai rasio, suku pertama, dan banyaknya suku ke dalam rumus penjumlahan.

$1 \frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $\frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$ dengan $1$ .

$\frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$

Langkah 5.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kalikan $\frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$

Langkah 5.2.2

Gabungkan.

$\frac{4 (1 - {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 (1 - \frac{1}{4})}$

Langkah 5.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (- \frac{1}{4})}$

Langkah 5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{4}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (\frac{- 1}{4})}$

Langkah 5.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (\frac{- 1}{4})}$

Langkah 5.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$\frac{4 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.5.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4 + 4 (- \frac{1^{6}}{4^{6}})}{4 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.5.3

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1^{6}}{4^{6}}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{4 + 4 \frac{- 1^{6}}{4^{6}}}{4 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.5.3.2

Faktorkan $4$ dari $4^{6}$ .

$\frac{4 + 4 \frac{- 1^{6}}{4 \cdot 4^{5}}}{4 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.5.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 + 4 \frac{- 1^{6}}{4 \cdot 4^{5}}}{4 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.5.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4 + \frac{- 1^{6}}{4^{5}}}{4 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.5.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{4 + \frac{- 1 \cdot 1}{4^{5}}}{4 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.5.5

Naikkan $4$ menjadi pangkat $5$ .

$\frac{4 + \frac{- 1 \cdot 1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.5.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{4 + \frac{- 1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.5.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{4 - \frac{1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.5.8

Untuk menuliskan $4$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{1024}{1024}$ .

$\frac{4 \cdot \frac{1024}{1024} - \frac{1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.5.9

Gabungkan $4$ dan $\frac{1024}{1024}$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 1024}{1024} - \frac{1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.5.10

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{4 \cdot 1024 - 1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.5.11

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.11.1

Kalikan $4$ dengan $1024$ .

$\frac{\frac{4096 - 1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.5.11.2

Kurangi $1$ dengan $4096$ .

$\frac{\frac{4095}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.6

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$\frac{\frac{4095}{1024}}{4 - 1}$

Langkah 5.6.2

Kurangi $1$ dengan $4$ .

$\frac{\frac{4095}{1024}}{3}$

Langkah 5.7

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{4095}{1024} \cdot \frac{1}{3}$

Langkah 5.8

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.1

Faktorkan $3$ dari $4095$ .

$\frac{3 (1365)}{1024} \cdot \frac{1}{3}$

Langkah 5.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 \cdot 1365}{1024} \cdot \frac{1}{3}$

Langkah 5.8.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1365}{1024}$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{1365}{1024}$

Bentuk Desimal:

$1.33300781 \dots$

Bentuk Bilangan Campuran:

$1 \frac{341}{1024}$