Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x - 3}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = {(x - 1)}^{2}$ dan $g (x) = x - 3$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{2}) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 u \frac{d}{d x} (x - 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x - 3$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x - 3) (x - 1)) \frac{d}{d x} (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) (1 + 0) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.5.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) \cdot 1 - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.5.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 3$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.8

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.9

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.9.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.9.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.4.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$f' (x) = \frac{(2 x - 6) (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.4.2.1.2

Perluas $(2 x - 6) (x - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{2 x (x - 1) - 6 (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.4.2.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 6 (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.4.2.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 6 x - 6 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.4.2.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1.3.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 6 x - 6 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.4.2.1.3.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 6 x - 6 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.4.2.1.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x - 6 x - 6 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.4.2.1.3.1.3

Kalikan $- 6$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x - 6 x + 6 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.4.2.1.3.2

Kurangi $6 x$ dengan $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.4.2.1.4

Tulis kembali ${(x - 1)}^{2}$ sebagai $(x - 1) (x - 1)$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - ((x - 1) (x - 1))}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.4.2.1.5

Perluas $(x - 1) (x - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1.5.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x (x - 1) - 1 (x - 1))}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.4.2.1.5.2

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.4.2.1.5.3

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.4.2.1.6

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1.6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1.6.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.4.2.1.6.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.4.2.1.6.1.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.4.2.1.6.1.4

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.4.2.1.6.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - x - x + 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.4.2.1.6.2

Kurangi $x$ dengan $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.4.2.1.7

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.4.2.1.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1.8.1

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.4.2.1.8.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - x^{2} + 2 x - 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.4.2.2

Kurangi $x^{2}$ dengan $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 8 x + 6 + 2 x - 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.4.2.3

Tambahkan $- 8 x$ dan $2 x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 6 x + 6 - 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.4.2.4

Kurangi $1$ dengan $6$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 6 x + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.4.3

Faktorkan $x^{2} - 6 x + 5$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.3.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $5$ dan jumlahnya $- 6$ .

$- 5, - 1$

Langkah 1.1.4.3.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$f' (x) = \frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$(x - 5) (x - 1) = 0$

Langkah 2.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Langkah 2.3.2

Atur $x - 5$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Atur $x - 5$ sama dengan $0$ .

$x - 5 = 0$

Langkah 2.3.2.2

Tambahkan $5$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 5$

Langkah 2.3.3

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 2.3.3.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 2.3.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x - 5) (x - 1) = 0$ benar.

$x = 5, 1$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur penyebut dalam $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

${(x - 3)}^{2} = 0$

Langkah 3.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Atur $x - 3$ agar sama dengan $0$ .

$x - 3 = 0$

Langkah 3.2.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 3$

Langkah 4

Evaluasi $\frac{{(x - 1)}^{2}}{x - 3}$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $5$ untuk $x$ .

$\frac{{((5) - 1)}^{2}}{(5) - 3}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Kurangi $1$ dengan $5$ .

$\frac{4^{2}}{5 - 3}$

Langkah 4.1.2.1.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{16}{5 - 3}$

Langkah 4.1.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Kurangi $3$ dengan $5$ .

$\frac{16}{2}$

Langkah 4.1.2.2.2

Bagilah $16$ dengan $2$ .

$8$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $1$ untuk $x$ .

$\frac{{((1) - 1)}^{2}}{(1) - 3}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{0^{2}}{1 - 3}$

Langkah 4.2.2.1.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{0}{1 - 3}$

Langkah 4.2.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$\frac{0}{- 2}$

Langkah 4.2.2.2.2

Bagilah $0$ dengan $- 2$ .

$0$

Langkah 4.3

Evaluasi pada $x = 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $3$ untuk $x$ .

$\frac{{((3) - 1)}^{2}}{(3) - 3}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Kurangi $3$ dengan $3$ .

$\frac{{((3) - 1)}^{2}}{0}$

Langkah 4.3.2.2

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 4.4

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(5, 8), (1, 0)$

Langkah 5