Kalkulus Contoh

$f (x) = {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ dan $g (x) = x - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 3]$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Langkah 1.1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 3$ .

$\frac{1}{3} {(x - 3)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Langkah 1.1.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x - 3)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Langkah 1.1.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x - 3)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Langkah 1.1.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{3} {(x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Langkah 1.1.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{1}{3} {(x - 3)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Langkah 1.1.5.2

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} {(x - 3)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Langkah 1.1.6

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{3} {(x - 3)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Langkah 1.1.6.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan ${(x - 3)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Langkah 1.1.6.3

Pindahkan ${(x - 3)}^{- \frac{2}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Langkah 1.1.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{1}{3 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Langkah 1.1.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Langkah 1.1.9

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{3 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0)$

Langkah 1.1.10

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.10.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{1}{3 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

Langkah 1.1.10.2

Kalikan $\frac{1}{3 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{1}{3 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{1}{3 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$1 = 0$

Langkah 2.3

Karena $1 \neq 0$ , tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}}}$

Langkah 3.2

Atur penyebut dalam $\frac{1}{3 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$3 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Langkah 3.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Untuk menghilangkan akar pada sisi kiri persamaan, pangkatkan tiga kedua sisi persamaan.

${(3 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}}$ sebagai ${(x - 3)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Sederhanakan ${(3 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(x - 3)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.2.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$27 {({(x - 3)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.2.1.3

Kalikan eksponen dalam ${({(x - 3)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x - 3)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$27 {(x - 3)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.2.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$27 {(x - 3)}^{2} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$27 {(x - 3)}^{2} = 0$

Langkah 3.3.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Bagi setiap suku pada $27 {(x - 3)}^{2} = 0$ dengan $27$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.1

Bagilah setiap suku di $27 {(x - 3)}^{2} = 0$ dengan $27$ .

$\frac{27 {(x - 3)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Langkah 3.3.3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $27$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{27 {(x - 3)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Langkah 3.3.3.1.2.1.2

Bagilah ${(x - 3)}^{2}$ dengan $1$ .

${(x - 3)}^{2} = \frac{0}{27}$

Langkah 3.3.3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.3.1

Bagilah $0$ dengan $27$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Langkah 3.3.3.2

Atur $x - 3$ agar sama dengan $0$ .

$x - 3 = 0$

Langkah 3.3.3.3

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 3$

Langkah 4

Evaluasi ${(x - 3)}^{\frac{1}{3}}$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $3$ untuk $x$ .

${((3) - 3)}^{\frac{1}{3}}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Kurangi $3$ dengan $3$ .

$0^{\frac{1}{3}}$

Langkah 4.1.2.1.2

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

${(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Langkah 4.1.2.1.3

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

Langkah 4.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

Langkah 4.1.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$0^{1}$

Langkah 4.1.2.3

Evaluasi eksponennya.

$0$

Langkah 4.2

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(3, 0)$

Langkah 5