Kalkulus Contoh

$f (x) = {(4 x - 5)}^{\frac{2}{3}}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ dan $g (x) = 4 x - 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $4 x - 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Langkah 1.1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $4 x - 5$ .

$\frac{2}{3} {(4 x - 5)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Langkah 1.1.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(4 x - 5)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Langkah 1.1.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(4 x - 5)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Langkah 1.1.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2}{3} {(4 x - 5)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Langkah 1.1.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{2}{3} {(4 x - 5)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Langkah 1.1.5.2

Kurangi $3$ dengan $2$ .

$\frac{2}{3} {(4 x - 5)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Langkah 1.1.6

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{2}{3} {(4 x - 5)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Langkah 1.1.6.2

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan ${(4 x - 5)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Langkah 1.1.6.3

Pindahkan ${(4 x - 5)}^{- \frac{1}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Langkah 1.1.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x - 5$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{2}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Langkah 1.1.8

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Langkah 1.1.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{2}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Langkah 1.1.10

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$\frac{2}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Langkah 1.1.11

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{2}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} (4 + 0)$

Langkah 1.1.12

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.12.1

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$\frac{2}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 4$

Langkah 1.1.12.2

Gabungkan $\frac{2}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}}$ dan $4$ .

$\frac{2 \cdot 4}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 1.1.12.3

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$f' (x) = \frac{8}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{8}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{8}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{8}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{8}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$8 = 0$

Langkah 2.3

Karena $8 \neq 0$ , tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Ubah persamaan dengan eksponen pecahan menjadi akar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$\frac{8}{3 \sqrt[3]{{(4 x - 5)}^{1}}}$

Langkah 3.1.2

Apa pun yang dipangkatkan ke $1$ sama dengan bilangan pokok itu sendiri.

$\frac{8}{3 \sqrt[3]{4 x - 5}}$

Langkah 3.2

Atur penyebut dalam $\frac{8}{3 \sqrt[3]{4 x - 5}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$3 \sqrt[3]{4 x - 5} = 0$

Langkah 3.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Untuk menghilangkan akar pada sisi kiri persamaan, pangkatkan tiga kedua sisi persamaan.

${(3 \sqrt[3]{4 x - 5})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{4 x - 5}$ sebagai ${(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Sederhanakan ${(3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {({(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.2.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$27 {({(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.2.1.3

Kalikan eksponen dalam ${({(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$27 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.2.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$27 {(4 x - 5)}^{1} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.2.1.4

Sederhanakan.

$27 (4 x - 5) = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.2.1.5

Terapkan sifat distributif.

$27 (4 x) + 27 \cdot - 5 = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.2.1.6

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.6.1

Kalikan $4$ dengan $27$ .

$108 x + 27 \cdot - 5 = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.2.1.6.2

Kalikan $27$ dengan $- 5$ .

$108 x - 135 = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$108 x - 135 = 0$

Langkah 3.3.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Tambahkan $135$ ke kedua sisi persamaan.

$108 x = 135$

Langkah 3.3.3.2

Bagi setiap suku pada $108 x = 135$ dengan $108$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.1

Bagilah setiap suku di $108 x = 135$ dengan $108$ .

$\frac{108 x}{108} = \frac{135}{108}$

Langkah 3.3.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $108$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{108 x}{108} = \frac{135}{108}$

Langkah 3.3.3.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{135}{108}$

Langkah 3.3.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $135$ dan $108$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.3.1.1

Faktorkan $27$ dari $135$ .

$x = \frac{27 (5)}{108}$

Langkah 3.3.3.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.3.1.2.1

Faktorkan $27$ dari $108$ .

$x = \frac{27 \cdot 5}{27 \cdot 4}$

Langkah 3.3.3.2.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{27 \cdot 5}{27 \cdot 4}$

Langkah 3.3.3.2.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{5}{4}$

Langkah 4

Evaluasi ${(4 x - 5)}^{\frac{2}{3}}$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = \frac{5}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $\frac{5}{4}$ untuk $x$ .

${(4 (\frac{5}{4}) - 5)}^{\frac{2}{3}}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(4 (\frac{5}{4}) - 5)}^{\frac{2}{3}}$

Langkah 4.1.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(5 - 5)}^{\frac{2}{3}}$

Langkah 4.1.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Kurangi $5$ dengan $5$ .

$0^{\frac{2}{3}}$

Langkah 4.1.2.2.2

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

${(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Langkah 4.1.2.2.3

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{2}{3})}$

Langkah 4.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$0^{3 (\frac{2}{3})}$

Langkah 4.1.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$0^{2}$

Langkah 4.1.2.4

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$0$

Langkah 4.2

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(\frac{5}{4}, 0)$

Langkah 5