Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 9}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tulis kembali $\frac{1}{x^{2} - 9}$ sebagai ${(x^{2} - 9)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{- 1}]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{2} - 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} - 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Langkah 1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} - 9$ .

$- {(x^{2} - 9)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 9$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$- {(x^{2} - 9)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- {(x^{2} - 9)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 9])$

Langkah 1.1.3.3

Karena $- 9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- {(x^{2} - 9)}^{- 2} (2 x + 0)$

Langkah 1.1.3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.4.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$- {(x^{2} - 9)}^{- 2} (2 x)$

Langkah 1.1.3.4.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 {(x^{2} - 9)}^{- 2} x$

Langkah 1.1.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x^{2} - 9)}^{2}} x$

Langkah 1.1.5

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(x^{2} - 9)}^{2}} x$

Langkah 1.1.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2}{{(x^{2} - 9)}^{2}} x$

Langkah 1.1.5.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{2}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Langkah 1.1.5.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$2 x = 0$

Langkah 2.3

Bagi setiap suku pada $2 x = 0$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 0$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 2.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$x = 0$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur penyebut dalam $\frac{2 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

${(x^{2} - 9)}^{2} = 0$

Langkah 3.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

${(x^{2} - 3^{2})}^{2} = 0$

Langkah 3.2.1.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 3$ .

${((x + 3) (x - 3))}^{2} = 0$

Langkah 3.2.1.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $(x + 3) (x - 3)$ .

${(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

Langkah 3.2.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

Langkah 3.2.3

Atur ${(x + 3)}^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Atur ${(x + 3)}^{2}$ sama dengan $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Langkah 3.2.3.2

Selesaikan ${(x + 3)}^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.2.1

Atur $x + 3$ agar sama dengan $0$ .

$x + 3 = 0$

Langkah 3.2.3.2.2

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 3$

Langkah 3.2.4

Atur ${(x - 3)}^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Atur ${(x - 3)}^{2}$ sama dengan $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Langkah 3.2.4.2

Selesaikan ${(x - 3)}^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.2.1

Atur $x - 3$ agar sama dengan $0$ .

$x - 3 = 0$

Langkah 3.2.4.2.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 3$

Langkah 3.2.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat ${(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ benar.

$x = - 3, 3$

Langkah 3.3

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$x = - 3, x = 3$

Langkah 4

Evaluasi $\frac{1}{x^{2} - 9}$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$\frac{1}{{(0)}^{2} - 9}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{1}{0 - 9}$

Langkah 4.1.2.1.2

Kurangi $9$ dengan $0$ .

$\frac{1}{- 9}$

Langkah 4.1.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{9}$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $- 3$ untuk $x$ .

$\frac{1}{{(- 3)}^{2} - 9}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1}{9 - 9}$

Langkah 4.2.2.2

Kurangi $9$ dengan $9$ .

$\frac{1}{0}$

Langkah 4.2.2.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 4.3

Evaluasi pada $x = 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $3$ untuk $x$ .

$\frac{1}{{(3)}^{2} - 9}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1}{9 - 9}$

Langkah 4.3.2.2

Kurangi $9$ dengan $9$ .

$\frac{1}{0}$

Langkah 4.3.2.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 4.4

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(0, - \frac{1}{9})$

Langkah 5