Kalkulus Contoh

$f (x) = | 25 x^{2} - 4 |$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = | x |$ dan $g (x) = 25 x^{2} - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $25 x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [25 x^{2} - 4]$

Langkah 1.1.1.2

Turunan dari $| u |$ terhadap $u$ adalah $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [25 x^{2} - 4]$

Langkah 1.1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $25 x^{2} - 4$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} \frac{d}{d x} [25 x^{2} - 4]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $25 x^{2} - 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Langkah 1.1.2.2

Karena $25$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $25 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (25 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Langkah 1.1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (25 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4])$

Langkah 1.1.2.4

Kalikan $2$ dengan $25$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (50 x + \frac{d}{d x} [- 4])$

Langkah 1.1.2.5

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (50 x + 0)$

Langkah 1.1.2.6

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.6.1

Tambahkan $50 x$ dan $0$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (50 x)$

Langkah 1.1.2.6.2

Gabungkan $50$ dan $\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |}$ .

$\frac{50 (25 x^{2} - 4)}{| 25 x^{2} - 4 |} x$

Langkah 1.1.2.6.3

Gabungkan $\frac{50 (25 x^{2} - 4)}{| 25 x^{2} - 4 |}$ dan $x$ .

$\frac{50 (25 x^{2} - 4) x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Langkah 1.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(50 (25 x^{2}) + 50 \cdot - 4) x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Langkah 1.1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{50 (25 x^{2}) x + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Langkah 1.1.3.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{50 (25 (x \cdot x^{2})) + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Langkah 1.1.3.3.1.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{50 (25 (x^{1} x^{2})) + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Langkah 1.1.3.3.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{50 (25 x^{1 + 2}) + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Langkah 1.1.3.3.1.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{50 (25 x^{3}) + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Langkah 1.1.3.3.2

Kalikan $25$ dengan $50$ .

$\frac{1250 x^{3} + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Langkah 1.1.3.3.3

Kalikan $50$ dengan $- 4$ .

$f' (x) = \frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$ .

$\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$1250 x^{3} - 200 x = 0$

Langkah 2.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Faktorkan $50 x$ dari $1250 x^{3} - 200 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Faktorkan $50 x$ dari $1250 x^{3}$ .

$50 x (25 x^{2}) - 200 x = 0$

Langkah 2.3.1.1.2

Faktorkan $50 x$ dari $- 200 x$ .

$50 x (25 x^{2}) + 50 x (- 4) = 0$

Langkah 2.3.1.1.3

Faktorkan $50 x$ dari $50 x (25 x^{2}) + 50 x (- 4)$ .

$50 x (25 x^{2} - 4) = 0$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali $25 x^{2}$ sebagai ${(5 x)}^{2}$ .

$50 x ({(5 x)}^{2} - 4) = 0$

Langkah 2.3.1.3

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$50 x ({(5 x)}^{2} - 2^{2}) = 0$

Langkah 2.3.1.4

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.4.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 5 x$ dan $b = 2$ .

$50 x ((5 x + 2) (5 x - 2)) = 0$

Langkah 2.3.1.4.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$50 x (5 x + 2) (5 x - 2) = 0$

Langkah 2.3.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$5 x + 2 = 0$

$5 x - 2 = 0$

Langkah 2.3.3

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 2.3.4

Atur $5 x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Atur $5 x + 2$ sama dengan $0$ .

$5 x + 2 = 0$

Langkah 2.3.4.2

Selesaikan $5 x + 2 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.2.1

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$5 x = - 2$

Langkah 2.3.4.2.2

Bagi setiap suku pada $5 x = - 2$ dengan $5$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.2.2.1

Bagilah setiap suku di $5 x = - 2$ dengan $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Langkah 2.3.4.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Langkah 2.3.4.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 2}{5}$

Langkah 2.3.4.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{2}{5}$

Langkah 2.3.5

Atur $5 x - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Atur $5 x - 2$ sama dengan $0$ .

$5 x - 2 = 0$

Langkah 2.3.5.2

Selesaikan $5 x - 2 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.1

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$5 x = 2$

Langkah 2.3.5.2.2

Bagi setiap suku pada $5 x = 2$ dengan $5$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $5 x = 2$ dengan $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Langkah 2.3.5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Langkah 2.3.5.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{2}{5}$

Langkah 2.3.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $50 x (5 x + 2) (5 x - 2) = 0$ benar.

$x = 0, - \frac{2}{5}, \frac{2}{5}$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur penyebut dalam $\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$| 25 x^{2} - 4 | = 0$

Langkah 3.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$25 x^{2} - 4 = \pm 0$

Langkah 3.2.2

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$25 x^{2} - 4 = 0$

Langkah 3.2.3

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$25 x^{2} = 4$

Langkah 3.2.4

Bagi setiap suku pada $25 x^{2} = 4$ dengan $25$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Bagilah setiap suku di $25 x^{2} = 4$ dengan $25$ .

$\frac{25 x^{2}}{25} = \frac{4}{25}$

Langkah 3.2.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $25$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{25 x^{2}}{25} = \frac{4}{25}$

Langkah 3.2.4.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{25}$

Langkah 3.2.5

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{25}}$

Langkah 3.2.6

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{4}{25}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.6.1

Tulis kembali $\sqrt{\frac{4}{25}}$ sebagai $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}}$

Langkah 3.2.6.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.6.2.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{25}}$

Langkah 3.2.6.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{25}}$

Langkah 3.2.6.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.6.3.1

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{5^{2}}}$

Langkah 3.2.6.3.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm \frac{2}{5}$

Langkah 3.2.7

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.7.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \frac{2}{5}$

Langkah 3.2.7.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \frac{2}{5}$

Langkah 3.2.7.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \frac{2}{5}, - \frac{2}{5}$

Langkah 3.3

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$x = - \frac{2}{5}, x = \frac{2}{5}$

Langkah 4

Evaluasi $| 25 x^{2} - 4 |$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$| 25 {(0)}^{2} - 4 |$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$| 25 \cdot 0 - 4 |$

Langkah 4.1.2.1.2

Kalikan $25$ dengan $0$ .

$| 0 - 4 |$

Langkah 4.1.2.2

Kurangi $4$ dengan $0$ .

$| - 4 |$

Langkah 4.1.2.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $- 4$ dan $0$ adalah $4$ .

$4$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = - \frac{2}{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $- \frac{2}{5}$ untuk $x$ .

$| 25 {(- \frac{2}{5})}^{2} - 4 |$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{2}{5}$ .

$| 25 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{5})}^{2}) - 4 |$

Langkah 4.2.2.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{2}{5}$ .

$| 25 ({(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{5^{2}}) - 4 |$

Langkah 4.2.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$| 25 (1 \frac{2^{2}}{5^{2}}) - 4 |$

Langkah 4.2.2.1.3

Kalikan $\frac{2^{2}}{5^{2}}$ dengan $1$ .

$| 25 \frac{2^{2}}{5^{2}} - 4 |$

Langkah 4.2.2.1.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$| 25 \frac{4}{5^{2}} - 4 |$

Langkah 4.2.2.1.5

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$| 25 (\frac{4}{25}) - 4 |$

Langkah 4.2.2.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $25$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$| 25 (\frac{4}{25}) - 4 |$

Langkah 4.2.2.1.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| 4 - 4 |$

Langkah 4.2.2.2

Kurangi $4$ dengan $4$ .

$| 0 |$

Langkah 4.2.2.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $0$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4.3

Evaluasi pada $x = \frac{2}{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $\frac{2}{5}$ untuk $x$ .

$| 25 {(\frac{2}{5})}^{2} - 4 |$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{2}{5}$ .

$| 25 \frac{2^{2}}{5^{2}} - 4 |$

Langkah 4.3.2.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$| 25 \frac{4}{5^{2}} - 4 |$

Langkah 4.3.2.1.3

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$| 25 (\frac{4}{25}) - 4 |$

Langkah 4.3.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $25$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$| 25 (\frac{4}{25}) - 4 |$

Langkah 4.3.2.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| 4 - 4 |$

Langkah 4.3.2.2

Kurangi $4$ dengan $4$ .

$| 0 |$

Langkah 4.3.2.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $0$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4.4

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(0, 4), (- \frac{2}{5}, 0), (\frac{2}{5}, 0)$

Langkah 5