Kalkulus Contoh

$f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 1$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $- 4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 1.1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 6 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 1.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 1.1.4.3

Kalikan $2$ dengan $- 6$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 1.1.5

Evaluasi $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $12 x$ terhadap $x$ adalah $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 1.1.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 1.1.5.3

Kalikan $12$ dengan $1$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 1.1.6

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 + 0$

Langkah 1.1.6.2

Tambahkan $12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12$ dan $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $12$ dari $12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Faktorkan $12$ dari $12 x^{3}$ .

$12 (x^{3}) - 12 x^{2} - 12 x + 12 = 0$

Langkah 2.2.1.2

Faktorkan $12$ dari $- 12 x^{2}$ .

$12 (x^{3}) + 12 (- x^{2}) - 12 x + 12 = 0$

Langkah 2.2.1.3

Faktorkan $12$ dari $- 12 x$ .

$12 (x^{3}) + 12 (- x^{2}) + 12 (- x) + 12 = 0$

Langkah 2.2.1.4

Faktorkan $12$ dari $12$ .

$12 (x^{3}) + 12 (- x^{2}) + 12 (- x) + 12 (1) = 0$

Langkah 2.2.1.5

Faktorkan $12$ dari $12 (x^{3}) + 12 (- x^{2})$ .

$12 (x^{3} - x^{2}) + 12 (- x) + 12 (1) = 0$

Langkah 2.2.1.6

Faktorkan $12$ dari $12 (x^{3} - x^{2}) + 12 (- x)$ .

$12 (x^{3} - x^{2} - x) + 12 (1) = 0$

Langkah 2.2.1.7

Faktorkan $12$ dari $12 (x^{3} - x^{2} - x) + 12 (1)$ .

$12 (x^{3} - x^{2} - x + 1) = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$12 ((x^{3} - x^{2}) - x + 1) = 0$

Langkah 2.2.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$12 (x^{2} (x - 1) - (x - 1)) = 0$

Langkah 2.2.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $x - 1$ .

$12 ((x - 1) (x^{2} - 1)) = 0$

Langkah 2.2.4

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$12 ((x - 1) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

Langkah 2.2.5

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$12 ((x - 1) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

Langkah 2.2.5.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$12 ((x - 1) (x + 1) (x - 1)) = 0$

Langkah 2.2.6

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.6.1

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.6.1.1

Naikkan $x - 1$ menjadi pangkat $1$ .

$12 ((x - 1) (x - 1) (x + 1)) = 0$

Langkah 2.2.6.1.2

Naikkan $x - 1$ menjadi pangkat $1$ .

$12 ((x - 1) (x - 1) (x + 1)) = 0$

Langkah 2.2.6.1.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$12 ({(x - 1)}^{1 + 1} (x + 1)) = 0$

Langkah 2.2.6.1.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$12 ({(x - 1)}^{2} (x + 1)) = 0$

Langkah 2.2.6.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$12 {(x - 1)}^{2} (x + 1) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

Langkah 2.4

Atur ${(x - 1)}^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur ${(x - 1)}^{2}$ sama dengan $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Langkah 2.4.2

Selesaikan ${(x - 1)}^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 2.4.2.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 2.5

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 2.5.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $12 {(x - 1)}^{2} (x + 1) = 0$ benar.

$x = 1, - 1$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 4

Evaluasi $3 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 1$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $1$ untuk $x$ .

$3 {(1)}^{4} - 4 {(1)}^{3} - 6 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$3 \cdot 1 - 4 {(1)}^{3} - 6 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

Langkah 4.1.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 - 4 {(1)}^{3} - 6 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

Langkah 4.1.2.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$3 - 4 \cdot 1 - 6 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

Langkah 4.1.2.1.4

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$3 - 4 - 6 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

Langkah 4.1.2.1.5

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$3 - 4 - 6 \cdot 1 + 12 (1) + 1$

Langkah 4.1.2.1.6

Kalikan $- 6$ dengan $1$ .

$3 - 4 - 6 + 12 (1) + 1$

Langkah 4.1.2.1.7

Kalikan $12$ dengan $1$ .

$3 - 4 - 6 + 12 + 1$

Langkah 4.1.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Kurangi $4$ dengan $3$ .

$- 1 - 6 + 12 + 1$

Langkah 4.1.2.2.2

Kurangi $6$ dengan $- 1$ .

$- 7 + 12 + 1$

Langkah 4.1.2.2.3

Tambahkan $- 7$ dan $12$ .

$5 + 1$

Langkah 4.1.2.2.4

Tambahkan $5$ dan $1$ .

$6$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $- 1$ untuk $x$ .

$3 {(- 1)}^{4} - 4 {(- 1)}^{3} - 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1) + 1$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $4$ .

$3 \cdot 1 - 4 {(- 1)}^{3} - 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1) + 1$

Langkah 4.2.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 - 4 {(- 1)}^{3} - 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1) + 1$

Langkah 4.2.2.1.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$3 - 4 \cdot - 1 - 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1) + 1$

Langkah 4.2.2.1.4

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$3 + 4 - 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1) + 1$

Langkah 4.2.2.1.5

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$3 + 4 - 6 \cdot 1 + 12 (- 1) + 1$

Langkah 4.2.2.1.6

Kalikan $- 6$ dengan $1$ .

$3 + 4 - 6 + 12 (- 1) + 1$

Langkah 4.2.2.1.7

Kalikan $12$ dengan $- 1$ .

$3 + 4 - 6 - 12 + 1$

Langkah 4.2.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1

Tambahkan $3$ dan $4$ .

$7 - 6 - 12 + 1$

Langkah 4.2.2.2.2

Kurangi $6$ dengan $7$ .

$1 - 12 + 1$

Langkah 4.2.2.2.3

Kurangi $12$ dengan $1$ .

$- 11 + 1$

Langkah 4.2.2.2.4

Tambahkan $- 11$ dan $1$ .

$- 10$

Langkah 4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(1, 6), (- 1, - 10)$

Langkah 5