Kalkulus Contoh

$f (x) = 3 x^{\frac{5}{3}} - 15 x^{\frac{2}{3}}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{\frac{5}{3}} - 15 x^{\frac{2}{3}}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{5}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{\frac{5}{3}}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{5}{3}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Langkah 1.1.2.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Langkah 1.1.2.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Langkah 1.1.2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (x) = 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Langkah 1.1.2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$f' (x) = 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Langkah 1.1.2.6.2

Kurangi $3$ dengan $5$ .

$f' (x) = 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Langkah 1.1.2.7

Gabungkan $\frac{5}{3}$ dan $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Langkah 1.1.2.8

Gabungkan $3$ dan $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Langkah 1.1.2.9

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$f' (x) = \frac{15 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Langkah 1.1.2.10

Faktorkan $3$ dari $15 x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Langkah 1.1.2.11

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.11.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$f' (x) = \frac{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Langkah 1.1.2.11.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (x) = \frac{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Langkah 1.1.2.11.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (x) = \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{1} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Langkah 1.1.2.11.4

Bagilah $5 x^{\frac{2}{3}}$ dengan $1$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 15 x^{\frac{2}{3}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 15$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 15 x^{\frac{2}{3}}$ terhadap $x$ adalah $- 15 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}}$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Langkah 1.1.3.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Langkah 1.1.3.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Langkah 1.1.3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Langkah 1.1.3.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Langkah 1.1.3.6.2

Kurangi $3$ dengan $2$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Langkah 1.1.3.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Langkah 1.1.3.8

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 1.1.3.9

Gabungkan $- 15$ dan $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 15 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Langkah 1.1.3.10

Kalikan $2$ dengan $- 15$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 30 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 1.1.3.11

Pindahkan $x^{- \frac{1}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 30}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 1.1.3.12

Faktorkan $3$ dari $- 30$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{3 \cdot - 10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 1.1.3.13

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.13.1

Faktorkan $3$ dari $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{3 \cdot - 10}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

Langkah 1.1.3.13.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{3 \cdot - 10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 1.1.3.13.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 10}{x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 1.1.3.14

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $5 x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$5 x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $5 x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$5 x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Langkah 2.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$1, x^{\frac{1}{3}}, 1$

Langkah 2.2.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$x^{\frac{1}{3}}$

Langkah 2.3

Kalikan setiap suku pada $5 x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ dengan $x^{\frac{1}{3}}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan setiap suku dalam $5 x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ dengan $x^{\frac{1}{3}}$ .

$5 x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Kalikan $x^{\frac{2}{3}}$ dengan $x^{\frac{1}{3}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1.1

Pindahkan $x^{\frac{1}{3}}$ .

$5 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Langkah 2.3.2.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$5 x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Langkah 2.3.2.1.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$5 x^{\frac{1 + 2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Langkah 2.3.2.1.1.4

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$5 x^{\frac{3}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Langkah 2.3.2.1.1.5

Bagilah $3$ dengan $3$ .

$5 x^{1} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Langkah 2.3.2.1.2

Sederhanakan $5 x^{1}$ .

$5 x - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Langkah 2.3.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{\frac{1}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}}$ ke dalam pembilangnya.

$5 x + \frac{- 10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Langkah 2.3.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$5 x + \frac{- 10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Langkah 2.3.2.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$5 x - 10 = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Kalikan $0$ dengan $x^{\frac{1}{3}}$ .

$5 x - 10 = 0$

Langkah 2.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Tambahkan $10$ ke kedua sisi persamaan.

$5 x = 10$

Langkah 2.4.2

Bagi setiap suku pada $5 x = 10$ dengan $5$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Bagilah setiap suku di $5 x = 10$ dengan $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{10}{5}$

Langkah 2.4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 x}{5} = \frac{10}{5}$

Langkah 2.4.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{10}{5}$

Langkah 2.4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.3.1

Bagilah $10$ dengan $5$ .

$x = 2$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Ubah persamaan dengan eksponen pecahan menjadi akar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$5 \sqrt[3]{x^{2}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 3.1.2

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$5 \sqrt[3]{x^{2}} - \frac{10}{\sqrt[3]{x^{1}}}$

Langkah 3.1.3

Apa pun yang dipangkatkan ke $1$ sama dengan bilangan pokok itu sendiri.

$5 \sqrt[3]{x^{2}} - \frac{10}{\sqrt[3]{x}}$

Langkah 3.2

Atur penyebut dalam $\frac{10}{\sqrt[3]{x}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$\sqrt[3]{x} = 0$

Langkah 3.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Untuk menghilangkan akar pada sisi kiri persamaan, pangkatkan tiga kedua sisi persamaan.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Sederhanakan ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{1} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.2.1.2

Sederhanakan.

$x = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$x = 0$

Langkah 4

Evaluasi $3 x^{\frac{5}{3}} - 15 x^{\frac{2}{3}}$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $2$ untuk $x$ .

$3 {(2)}^{\frac{5}{3}} - 15 {(2)}^{\frac{2}{3}}$

Langkah 4.1.2

Hilangkan tanda kurung.

$3 \cdot 2^{\frac{5}{3}} - 15 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$3 {(0)}^{\frac{5}{3}} - 15 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

$3 {(0^{3})}^{\frac{5}{3}} - 15 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Langkah 4.2.2.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})} - 15 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Langkah 4.2.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})} - 15 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Langkah 4.2.2.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$3 \cdot 0^{5} - 15 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Langkah 4.2.2.1.4

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$3 \cdot 0 - 15 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Langkah 4.2.2.1.5

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$0 - 15 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Langkah 4.2.2.1.6

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

$0 - 15 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Langkah 4.2.2.1.7

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 15 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Langkah 4.2.2.1.8

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.8.1

Batalkan faktor persekutuan.

$0 - 15 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Langkah 4.2.2.1.8.2

Tulis kembali pernyataannya.

$0 - 15 \cdot 0^{2}$

Langkah 4.2.2.1.9

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$0 - 15 \cdot 0$

Langkah 4.2.2.1.10

Kalikan $- 15$ dengan $0$ .

$0 + 0$

Langkah 4.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$0$

Langkah 4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(2, 3 \cdot 2^{\frac{5}{3}} - 15 \cdot 2^{\frac{2}{3}}), (0, 0)$

Langkah 5