Kalkulus Contoh

$f (x) = - 4 x + 9 x^{\frac{4}{9}}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 4 x + 9 x^{\frac{4}{9}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{4}{9}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{4}{9}}]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{4}{9}}]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{4}{9}}]$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$- 4 + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{4}{9}}]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{4}{9}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9 x^{\frac{4}{9}}$ terhadap $x$ adalah $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{9}}]$ .

$- 4 + 9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{9}}]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{4}{9}$ .

$- 4 + 9 (\frac{4}{9} x^{\frac{4}{9} - 1})$

Langkah 1.1.3.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{9}{9}$ .

$- 4 + 9 (\frac{4}{9} x^{\frac{4}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}})$

Langkah 1.1.3.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{9}{9}$ .

$- 4 + 9 (\frac{4}{9} x^{\frac{4}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}})$

Langkah 1.1.3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- 4 + 9 (\frac{4}{9} x^{\frac{4 - 1 \cdot 9}{9}})$

Langkah 1.1.3.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $9$ .

$- 4 + 9 (\frac{4}{9} x^{\frac{4 - 9}{9}})$

Langkah 1.1.3.6.2

Kurangi $9$ dengan $4$ .

$- 4 + 9 (\frac{4}{9} x^{\frac{- 5}{9}})$

Langkah 1.1.3.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- 4 + 9 (\frac{4}{9} x^{- \frac{5}{9}})$

Langkah 1.1.3.8

Gabungkan $\frac{4}{9}$ dan $x^{- \frac{5}{9}}$ .

$- 4 + 9 \frac{4 x^{- \frac{5}{9}}}{9}$

Langkah 1.1.3.9

Gabungkan $9$ dan $\frac{4 x^{- \frac{5}{9}}}{9}$ .

$- 4 + \frac{9 (4 x^{- \frac{5}{9}})}{9}$

Langkah 1.1.3.10

Kalikan $4$ dengan $9$ .

$- 4 + \frac{36 x^{- \frac{5}{9}}}{9}$

Langkah 1.1.3.11

Pindahkan $x^{- \frac{5}{9}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 + \frac{36}{9 x^{\frac{5}{9}}}$

Langkah 1.1.3.12

Faktorkan $9$ dari $36$ .

$- 4 + \frac{9 \cdot 4}{9 x^{\frac{5}{9}}}$

Langkah 1.1.3.13

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.13.1

Faktorkan $9$ dari $9 x^{\frac{5}{9}}$ .

$- 4 + \frac{9 \cdot 4}{9 (x^{\frac{5}{9}})}$

Langkah 1.1.3.13.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- 4 + \frac{9 \cdot 4}{9 x^{\frac{5}{9}}}$

Langkah 1.1.3.13.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (x) = - 4 + \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 4 + \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}}$ .

$- 4 + \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 4 + \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- 4 + \frac{4}{x^{\frac{5}{9}}} = 0$

Langkah 2.2

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{4}{x^{\frac{5}{9}}} = 4$

Langkah 2.3

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$x^{\frac{5}{9}}, 1$

Langkah 2.3.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$x^{\frac{5}{9}}$

Langkah 2.4

Kalikan setiap suku pada $\frac{4}{x^{\frac{5}{9}}} = 4$ dengan $x^{\frac{5}{9}}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Kalikan setiap suku dalam $\frac{4}{x^{\frac{5}{9}}} = 4$ dengan $x^{\frac{5}{9}}$ .

$\frac{4}{x^{\frac{5}{9}}} x^{\frac{5}{9}} = 4 x^{\frac{5}{9}}$

Langkah 2.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{\frac{5}{9}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4}{x^{\frac{5}{9}}} x^{\frac{5}{9}} = 4 x^{\frac{5}{9}}$

Langkah 2.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$4 = 4 x^{\frac{5}{9}}$

Langkah 2.5

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $4 x^{\frac{5}{9}} = 4$ .

$4 x^{\frac{5}{9}} = 4$

Langkah 2.5.2

Bagi setiap suku pada $4 x^{\frac{5}{9}} = 4$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Bagilah setiap suku di $4 x^{\frac{5}{9}} = 4$ dengan $4$ .

$\frac{4 x^{\frac{5}{9}}}{4} = \frac{4}{4}$

Langkah 2.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 x^{\frac{5}{9}}}{4} = \frac{4}{4}$

Langkah 2.5.2.2.2

Bagilah $x^{\frac{5}{9}}$ dengan $1$ .

$x^{\frac{5}{9}} = \frac{4}{4}$

Langkah 2.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.3.1

Bagilah $4$ dengan $4$ .

$x^{\frac{5}{9}} = 1$

Langkah 2.5.3

Pangkatkan setiap sisi persamaan dengan pangkat $\frac{9}{5}$ untuk menghilangkan eksponen pecahan di sisi kiri.

${(x^{\frac{5}{9}})}^{\frac{9}{5}} = 1^{\frac{9}{5}}$

Langkah 2.5.4

Sederhanakan bentuk eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.1.1

Sederhanakan ${(x^{\frac{5}{9}})}^{\frac{9}{5}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.1.1.1

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{5}{9}})}^{\frac{9}{5}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.1.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{5}{9} \cdot \frac{9}{5}} = 1^{\frac{9}{5}}$

Langkah 2.5.4.1.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.1.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{\frac{5}{9} \cdot \frac{9}{5}} = 1^{\frac{9}{5}}$

Langkah 2.5.4.1.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{\frac{1}{9} \cdot 9} = 1^{\frac{9}{5}}$

Langkah 2.5.4.1.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.1.1.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{\frac{1}{9} \cdot 9} = 1^{\frac{9}{5}}$

Langkah 2.5.4.1.1.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{1} = 1^{\frac{9}{5}}$

Langkah 2.5.4.1.1.2

Sederhanakan.

$x = 1^{\frac{9}{5}}$

Langkah 2.5.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$x = 1$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$- 4 + \frac{4}{\sqrt[9]{x^{5}}}$

Langkah 3.2

Atur penyebut dalam $\frac{4}{\sqrt[9]{x^{5}}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$\sqrt[9]{x^{5}} = 0$

Langkah 3.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Untuk menghapus akar di sisi kiri persamaan, pangkatkan kedua sisi persamaan ke pangkat $9$ .

${\sqrt[9]{x^{5}}}^{9} = 0^{9}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[9]{x^{5}}$ sebagai $x^{\frac{5}{9}}$ .

${(x^{\frac{5}{9}})}^{9} = 0^{9}$

Langkah 3.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{5}{9}})}^{9}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{5}{9} \cdot 9} = 0^{9}$

Langkah 3.3.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{\frac{5}{9} \cdot 9} = 0^{9}$

Langkah 3.3.2.2.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{5} = 0^{9}$

Langkah 3.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$x^{5} = 0$

Langkah 3.3.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \sqrt[5]{0}$

Langkah 3.3.3.2

Sederhanakan $\sqrt[5]{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Langkah 3.3.3.2.2

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$x = 0$

Langkah 4

Evaluasi $- 4 x + 9 x^{\frac{4}{9}}$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $1$ untuk $x$ .

$- 4 \cdot 1 + 9 {(1)}^{\frac{4}{9}}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$- 4 + 9 {(1)}^{\frac{4}{9}}$

Langkah 4.1.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- 4 + 9 \cdot 1$

Langkah 4.1.2.1.3

Kalikan $9$ dengan $1$ .

$- 4 + 9$

Langkah 4.1.2.2

Tambahkan $- 4$ dan $9$ .

$5$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$- 4 \cdot 0 + 9 {(0)}^{\frac{4}{9}}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Kalikan $- 4$ dengan $0$ .

$0 + 9 {(0)}^{\frac{4}{9}}$

Langkah 4.2.2.1.2

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{9}$ .

$0 + 9 {(0^{9})}^{\frac{4}{9}}$

Langkah 4.2.2.1.3

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + 9 \cdot 0^{9 (\frac{4}{9})}$

Langkah 4.2.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$0 + 9 \cdot 0^{9 (\frac{4}{9})}$

Langkah 4.2.2.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$0 + 9 \cdot 0^{4}$

Langkah 4.2.2.1.5

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$0 + 9 \cdot 0$

Langkah 4.2.2.1.6

Kalikan $9$ dengan $0$ .

$0 + 0$

Langkah 4.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$0$

Langkah 4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(1, 5), (0, 0)$

Langkah 5