Kalkulus Contoh

$f (x) = 4 x + \frac{1}{x}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x + \frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$4 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$4 - x^{- 2}$

Langkah 1.1.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 - \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 1.1.5

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 4$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{x^{2}} + 4$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 4$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{1}{x^{2}} + 4 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 4 = 0$

Langkah 2.2

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- \frac{1}{x^{2}} = - 4$

Langkah 2.3

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$x^{2}, 1$

Langkah 2.3.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$x^{2}$

Langkah 2.4

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{x^{2}} = - 4$ dengan $x^{2}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{x^{2}} = - 4$ dengan $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - 4 x^{2}$

Langkah 2.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{x^{2}}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - 4 x^{2}$

Langkah 2.4.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - 4 x^{2}$

Langkah 2.4.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 = - 4 x^{2}$

Langkah 2.5

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- 4 x^{2} = - 1$ .

$- 4 x^{2} = - 1$

Langkah 2.5.2

Bagi setiap suku pada $- 4 x^{2} = - 1$ dengan $- 4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Bagilah setiap suku di $- 4 x^{2} = - 1$ dengan $- 4$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Langkah 2.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Langkah 2.5.2.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 4}$

Langkah 2.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.3.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Langkah 2.5.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Langkah 2.5.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.1

Tulis kembali $\sqrt{\frac{1}{4}}$ sebagai $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Langkah 2.5.4.2

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Langkah 2.5.4.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.3.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Langkah 2.5.4.3.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Langkah 2.5.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \frac{1}{2}$

Langkah 2.5.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \frac{1}{2}$

Langkah 2.5.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur penyebut dalam $\frac{1}{x^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x^{2} = 0$

Langkah 3.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{0}$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan $\pm \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Langkah 3.2.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 0$

Langkah 3.2.2.3

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 4

Evaluasi $4 x + \frac{1}{x}$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $\frac{1}{2}$ untuk $x$ .

$4 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$2 (2) \frac{1}{2} + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Langkah 4.1.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot 2 \frac{1}{2} + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Langkah 4.1.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Langkah 4.1.2.1.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$2 + 1 \cdot 2$

Langkah 4.1.2.1.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + 2$

Langkah 4.1.2.2

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$4$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = - \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $- \frac{1}{2}$ untuk $x$ .

$4 (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$4 (\frac{- 1}{2}) + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Langkah 4.2.2.1.1.2

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$2 (2) \frac{- 1}{2} + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Langkah 4.2.2.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot 2 \frac{- 1}{2} + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Langkah 4.2.2.1.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$2 \cdot - 1 + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Langkah 4.2.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Langkah 4.2.2.1.3

Hapus faktor persekutuan dari $1$ dan $- 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.3.1

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$- 2 + \frac{- 1 (- 1)}{- \frac{1}{2}}$

Langkah 4.2.2.1.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- 2 - \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Langkah 4.2.2.1.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$- 2 - (1 \cdot 2)$

Langkah 4.2.2.1.5

Kalikan $- (1 \cdot 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.5.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$- 2 - 1 \cdot 2$

Langkah 4.2.2.1.5.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 - 2$

Langkah 4.2.2.2

Kurangi $2$ dengan $- 2$ .

$- 4$

Langkah 4.3

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$4 (0) + \frac{1}{0}$

Langkah 4.3.2

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 4.4

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(\frac{1}{2}, 4), (- \frac{1}{2}, - 4)$

Langkah 5