Kalkulus Contoh

$y \cos (x) = 2 x^{2} + 4 y^{2}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y \cos (x)) = \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 4 y^{2})$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = y$ dan $g (x) = \cos (x)$ .

$y \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$y (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$y (- \sin (x)) + \cos (x) y'$

Langkah 2.4

Susun kembali suku-suku.

$- y \sin (x) + \cos (x) y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x^{2} + 4 y^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Langkah 3.2.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 x + 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$4 x + 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$4 x + 4 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$4 x + 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$4 x + 4 (2 y y')$

Langkah 3.3.4

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$4 x + 8 y y'$

Langkah 3.4

Susun kembali suku-suku.

$8 y y' + 4 x$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$- y \sin (x) + \cos (x) y' = 8 y y' + 4 x$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $- y \sin (x) + \cos (x) y'$ .

$- y \sin (x) + y' \cos (x) = 8 y y' + 4 x$

Langkah 5.2

Kurangkan $8 y y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- y \sin (x) + y' \cos (x) - 8 y y' = 4 x$

Langkah 5.3

Tambahkan $y \sin (x)$ ke kedua sisi persamaan.

$y' \cos (x) - 8 y y' = 4 x + y \sin (x)$

Langkah 5.4

Faktorkan $y'$ dari $y' \cos (x) - 8 y y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Faktorkan $y'$ dari $y' \cos (x)$ .

$y' (\cos (x)) - 8 y y' = 4 x + y \sin (x)$

Langkah 5.4.2

Faktorkan $y'$ dari $- 8 y y'$ .

$y' (\cos (x)) + y' (- 8 y) = 4 x + y \sin (x)$

Langkah 5.4.3

Faktorkan $y'$ dari $y' (\cos (x)) + y' (- 8 y)$ .

$y' (\cos (x) - 8 y) = 4 x + y \sin (x)$

Langkah 5.5

Bagi setiap suku pada $y' (\cos (x) - 8 y) = 4 x + y \sin (x)$ dengan $\cos (x) - 8 y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Bagilah setiap suku di $y' (\cos (x) - 8 y) = 4 x + y \sin (x)$ dengan $\cos (x) - 8 y$ .

$\frac{y' (\cos (x) - 8 y)}{\cos (x) - 8 y} = \frac{4 x}{\cos (x) - 8 y} + \frac{y \sin (x)}{\cos (x) - 8 y}$

Langkah 5.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (x) - 8 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (\cos (x) - 8 y)}{\cos (x) - 8 y} = \frac{4 x}{\cos (x) - 8 y} + \frac{y \sin (x)}{\cos (x) - 8 y}$

Langkah 5.5.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{4 x}{\cos (x) - 8 y} + \frac{y \sin (x)}{\cos (x) - 8 y}$

Langkah 5.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{4 x + y \sin (x)}{\cos (x) - 8 y}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x + y \sin (x)}{\cos (x) - 8 y}$