Kalkulus Contoh

$\tan (x y^{2}) = e^{x^{2} + y}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (\tan (x y^{2})) = \frac{d}{d x} (e^{x^{2} + y})$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \tan (x)$ dan $g (x) = x y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Langkah 2.1.2

Turunan dari $\tan (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Langkah 2.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x y^{2}$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y^{2}$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $y$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (x (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $y$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.5

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Langkah 2.7

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (2 x y y' + y^{2})$

Langkah 2.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Terapkan sifat distributif.

$\sec^{2} (x y^{2}) (2 x y y') + \sec^{2} (x y^{2}) y^{2}$

Langkah 2.8.2

Susun kembali suku-suku.

$2 x y \sec^{2} (x y^{2}) y' + y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x^{2} + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} + y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Langkah 3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Langkah 3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + y$ .

$e^{x^{2} + y} \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Langkah 3.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + y$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x^{2} + y} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$e^{x^{2} + y} (2 x + \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$e^{x^{2} + y} (2 x + y')$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$2 x y \sec^{2} (x y^{2}) y' + y^{2} \sec^{2} (x y^{2}) = e^{x^{2} + y} (2 x + y')$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $2 x y \sec^{2} (x y^{2}) y' + y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$ .

$2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) + y^{2} \sec^{2} (x y^{2}) = e^{x^{2} + y} (2 x + y')$

Langkah 5.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan $e^{x^{2} + y} (2 x + y')$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) + y^{2} \sec^{2} (x y^{2}) = e^{x^{2} + y} (2 x) + e^{x^{2} + y} y'$

Langkah 5.2.1.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) + y^{2} \sec^{2} (x y^{2}) = 2 e^{x^{2} + y} x + e^{x^{2} + y} y'$

Langkah 5.2.1.2.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $2 e^{x^{2} + y} x + e^{x^{2} + y} y'$ .

$2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) + y^{2} \sec^{2} (x y^{2}) = 2 x e^{x^{2} + y} + y' e^{x^{2} + y}$

Langkah 5.3

Kurangkan $y' e^{x^{2} + y}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) + y^{2} \sec^{2} (x y^{2}) - y' e^{x^{2} + y} = 2 x e^{x^{2} + y}$

Langkah 5.4

Kurangkan $y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) - y' e^{x^{2} + y} = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

Langkah 5.5

Faktorkan $y'$ dari $2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) - y' e^{x^{2} + y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Faktorkan $y'$ dari $2 x y y' \sec^{2} (x y^{2})$ .

$y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2})) - y' e^{x^{2} + y} = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

Langkah 5.5.2

Faktorkan $y'$ dari $- y' e^{x^{2} + y}$ .

$y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2})) + y' (- 1 e^{x^{2} + y}) = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

Langkah 5.5.3

Faktorkan $y'$ dari $y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2})) + y' (- 1 e^{x^{2} + y})$ .

$y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - 1 e^{x^{2} + y}) = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

Langkah 5.6

Tulis kembali $- 1 e^{x^{2} + y}$ sebagai $- e^{x^{2} + y}$ .

$y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}) = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

Langkah 5.7

Bagi setiap suku pada $y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}) = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$ dengan $2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Bagilah setiap suku di $y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}) = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$ dengan $2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}$ .

$\frac{y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y})}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}} = \frac{2 x e^{x^{2} + y}}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}} + \frac{- y^{2} \sec^{2} (x y^{2})}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}}$

Langkah 5.7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

Langkah 5.7.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{2 x e^{x^{2} + y}}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}} + \frac{- y^{2} \sec^{2} (x y^{2})}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}}$

Langkah 5.7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{2 x e^{x^{2} + y}}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}} - \frac{y^{2} \sec^{2} (x y^{2})}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}}$

Langkah 5.7.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}}$