Kalkulus Contoh

$y = \sqrt{\ln (6 x)}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{\ln (6 x)}$ sebagai ${\ln (6 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(\ln (6 x))}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\ln (6 x))}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 3

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 4

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = \ln (6 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $\ln (6 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\ln (6 x)]$

Langkah 4.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\ln (6 x)]$

Langkah 4.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\ln (6 x)$ .

$\frac{1}{2} {\ln (6 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\ln (6 x)]$

Langkah 4.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\ln (6 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (6 x)]$

Langkah 4.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\ln (6 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (6 x)]$

Langkah 4.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} {\ln (6 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (6 x)]$

Langkah 4.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} {\ln (6 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (6 x)]$

Langkah 4.5.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} {\ln (6 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (6 x)]$

Langkah 4.6

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} {\ln (6 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (6 x)]$

Langkah 4.6.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${\ln (6 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\ln (6 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\ln (6 x)]$

Langkah 4.6.3

Pindahkan ${\ln (6 x)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\ln (6 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (6 x)]$

Langkah 4.7

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = 6 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $6 x$ .

$\frac{1}{2 {\ln (6 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x])$

Langkah 4.7.2

Turunan dari $\ln (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2 {\ln (6 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [6 x])$

Langkah 4.7.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $6 x$ .

$\frac{1}{2 {\ln (6 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{6 x} \frac{d}{d x} [6 x])$

Langkah 4.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.1

Kalikan $\frac{1}{6 x}$ dengan $\frac{1}{2 {\ln (6 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{6 x (2 {\ln (6 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [6 x]$

Langkah 4.8.2

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$\frac{1}{12 x {\ln (6 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x]$

Langkah 4.8.3

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{12 x {\ln (6 x)}^{\frac{1}{2}}} (6 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.8.4

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.4.1

Gabungkan $6$ dan $\frac{1}{12 x {\ln (6 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{6}{12 x {\ln (6 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.8.4.2

Faktorkan $6$ dari $6$ .

$\frac{6 (1)}{12 x {\ln (6 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.9

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.1

Faktorkan $6$ dari $12 x {\ln (6 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 (1)}{6 (2 x {\ln (6 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.9.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{6 \cdot 1}{6 (2 x {\ln (6 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.9.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2 x {\ln (6 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{2 x {\ln (6 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Langkah 4.11

Kalikan $\frac{1}{2 x {\ln (6 x)}^{\frac{1}{2}}}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2 x {\ln (6 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = \frac{1}{2 x {(\ln (6 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x {(\ln (6 x))}^{\frac{1}{2}}}$