Kalkulus Contoh

$\sum_{n = 1}^{4} (125) {(\frac{1}{5})}^{n - 1}$

Langkah 1

Jumlah deret geometri berhingga dapat ditentukan menggunakan rumus $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ di mana $a$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasio antara dua suku berturut-turut.

Langkah 2

Tentukan rasio dari dua suku berturut-turut dengan memasukkan ke dalam rumus $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Substitusikan $a_{n}$ dan $a_{n + 1}$ ke dalam rumus untuk $r$ .

$r = \frac{125 {(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}}{125 {(\frac{1}{5})}^{n - 1}}$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $125$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \frac{125 {(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}}{125 {(\frac{1}{5})}^{n - 1}}$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}}{{(\frac{1}{5})}^{n - 1}}$

Langkah 2.2.2

Hapus faktor persekutuan dari ${(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}$ dan ${(\frac{1}{5})}^{n - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Faktorkan ${(\frac{1}{5})}^{n - 1}$ dari ${(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} {(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{5})}^{n - 1}}$

Langkah 2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} {(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} \cdot 1}$

Langkah 2.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} {(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} \cdot 1}$

Langkah 2.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Langkah 2.2.2.2.4

Bagilah ${(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}$ dengan $1$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Langkah 2.2.3

Tambahkan $n$ dan $0$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{n - (n - 1)}$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$r = {(\frac{1}{5})}^{n - n - - 1}$

Langkah 2.2.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{n - n + 1}$

Langkah 2.2.5

Kurangi $n$ dengan $n$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{0 + 1}$

Langkah 2.2.6

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{1}$

Langkah 2.2.7

Sederhanakan.

$r = \frac{1}{5}$

Langkah 3

Tentukan suku pertama dalam deret dengan mensubstitusikan ke dalam batas bawah dan menyederhanakannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $1$ untuk $n$ ke dalam $(125) {(\frac{1}{5})}^{n - 1}$ .

$a = 125 {(\frac{1}{5})}^{1 - 1}$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$a = 125 {(\frac{1}{5})}^{0}$

Langkah 3.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{5}$ .

$a = 125 \frac{1^{0}}{5^{0}}$

Langkah 3.2.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$a = 125 \frac{1}{5^{0}}$

Langkah 3.2.4

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$a = 125 (\frac{1}{1})$

Langkah 3.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$a = 125 (\frac{1}{1})$

Langkah 3.2.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$a = 125 \cdot 1$

Langkah 3.2.6

Kalikan $125$ dengan $1$ .

$a = 125$

Langkah 4

Substitusikan nilai rasio, suku pertama, dan banyaknya suku ke dalam rumus penjumlahan.

$125 \frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{4}}{1 - \frac{1}{5}}$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kalikan $\frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{4}}{1 - \frac{1}{5}}$ dengan $\frac{5}{5}$ .

$125 (\frac{5}{5} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{4}}{1 - \frac{1}{5}})$

Langkah 5.1.2

Gabungkan.

$125 \frac{5 (1 - {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 (1 - \frac{1}{5})}$

Langkah 5.2

Terapkan sifat distributif.

$125 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 \cdot 1 + 5 (- \frac{1}{5})}$

Langkah 5.3

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{5}$ ke dalam pembilangnya.

$125 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 \cdot 1 + 5 (\frac{- 1}{5})}$

Langkah 5.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$125 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 \cdot 1 + 5 (\frac{- 1}{5})}$

Langkah 5.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$125 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$125 \frac{5 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{5}$ .

$125 \frac{5 + 5 (- \frac{1^{4}}{5^{4}})}{5 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1^{4}}{5^{4}}$ ke dalam pembilangnya.

$125 \frac{5 + 5 \frac{- 1^{4}}{5^{4}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.3.2

Faktorkan $5$ dari $5^{4}$ .

$125 \frac{5 + 5 \frac{- 1^{4}}{5 \cdot 5^{3}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$125 \frac{5 + 5 \frac{- 1^{4}}{5 \cdot 5^{3}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$125 \frac{5 + \frac{- 1^{4}}{5^{3}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$125 \frac{5 + \frac{- 1 \cdot 1}{5^{3}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.5

Naikkan $5$ menjadi pangkat $3$ .

$125 \frac{5 + \frac{- 1 \cdot 1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$125 \frac{5 + \frac{- 1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$125 \frac{5 - \frac{1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.8

Untuk menuliskan $5$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{125}{125}$ .

$125 \frac{5 \cdot \frac{125}{125} - \frac{1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.9

Gabungkan $5$ dan $\frac{125}{125}$ .

$125 \frac{\frac{5 \cdot 125}{125} - \frac{1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.10

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$125 \frac{\frac{5 \cdot 125 - 1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.11

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.11.1

Kalikan $5$ dengan $125$ .

$125 \frac{\frac{625 - 1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.11.2

Kurangi $1$ dengan $625$ .

$125 \frac{\frac{624}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.5

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$125 \frac{\frac{624}{125}}{5 - 1}$

Langkah 5.5.2

Kurangi $1$ dengan $5$ .

$125 \frac{\frac{624}{125}}{4}$

Langkah 5.6

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$125 (\frac{624}{125} \cdot \frac{1}{4})$

Langkah 5.7

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Faktorkan $4$ dari $624$ .

$125 (\frac{4 (156)}{125} \cdot \frac{1}{4})$

Langkah 5.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

$125 (\frac{4 \cdot 156}{125} \cdot \frac{1}{4})$

Langkah 5.7.3

Tulis kembali pernyataannya.

$125 (\frac{156}{125})$

Langkah 5.8

Batalkan faktor persekutuan dari $125$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.1

Batalkan faktor persekutuan.

$125 (\frac{156}{125})$

Langkah 5.8.2

Tulis kembali pernyataannya.

$156$