Kalkulus Contoh

$\sum_{i = 1}^{100} 2^{i}$

Langkah 1

Jumlah deret geometri berhingga dapat ditentukan menggunakan rumus $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ di mana $a$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasio antara dua suku berturut-turut.

Langkah 2

Tentukan rasio dari dua suku berturut-turut dengan memasukkan ke dalam rumus $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Substitusikan $a_{i}$ dan $a_{i + 1}$ ke dalam rumus untuk $r$ .

$r = \frac{2^{i + 1}}{2^{i}}$

Langkah 2.2

Hapus faktor persekutuan dari $2^{i + 1}$ dan $2^{i}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $2^{i}$ dari $2^{i + 1}$ .

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i}}$

Langkah 2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}$

Langkah 2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}$

Langkah 2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \frac{2}{1}$

Langkah 2.2.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$r = 2$

Langkah 3

Tentukan suku pertama dalam deret dengan mensubstitusikan ke dalam batas bawah dan menyederhanakannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $1$ untuk $i$ ke dalam $2^{i}$ .

$a = 2^{1}$

Langkah 3.2

Evaluasi eksponennya.

$a = 2$

Langkah 4

Substitusikan nilai rasio, suku pertama, dan banyaknya suku ke dalam rumus penjumlahan.

$2 \frac{1 - 2^{100}}{1 - 1 \cdot 2}$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$2 \frac{1 - 2^{100}}{1 - 2}$

Langkah 5.1.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$2 \frac{1 - 2^{100}}{- 1}$

Langkah 5.2

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{1 - 2^{100}}{- 1}$ .

$2 (- 1 \cdot (1 - 2^{100}))$

Langkah 5.3

Tulis kembali $- 1 \cdot (1 - 2^{100})$ sebagai $- (1 - 2^{100})$ .

$2 (- (1 - 2^{100}))$

Langkah 5.4

Terapkan sifat distributif.

$2 (- 1 \cdot 1 - - 2^{100})$

Langkah 5.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$2 (- 1 - - 2^{100})$

Langkah 5.6

Kalikan $- - 2^{100}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$2 (- 1 + 1 \cdot 2^{100})$

Langkah 5.6.2

Kalikan $2^{100}$ dengan $1$ .

$2 (- 1 + 2^{100})$

Langkah 5.7

Terapkan sifat distributif.

$2 \cdot - 1 + 2 \cdot 2^{100}$

Langkah 5.8

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 + 2 \cdot 2^{100}$

Langkah 5.9

Kalikan $2$ dengan $2^{100}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.1

Kalikan $2$ dengan $2^{100}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $1$ .

$- 2 + 2^{1} \cdot 2^{100}$

Langkah 5.9.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- 2 + 2^{1 + 100}$

Langkah 5.9.2

Tambahkan $1$ dan $100$ .

$- 2 + 2^{101}$