Kalkulus Contoh

$\sum_{i = 1}^{11} 2^{i - 1}$

Langkah 1

Jumlah deret geometri berhingga dapat ditentukan menggunakan rumus $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ di mana $a$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasio antara dua suku berturut-turut.

Langkah 2

Tentukan rasio dari dua suku berturut-turut dengan memasukkan ke dalam rumus $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Substitusikan $a_{i}$ dan $a_{i + 1}$ ke dalam rumus untuk $r$ .

$r = \frac{2^{i + 1 - 1}}{2^{i - 1}}$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $2^{i + 1 - 1}$ dan $2^{i - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Faktorkan $2^{i - 1}$ dari $2^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1}}$

Langkah 2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1} \cdot 1}$

Langkah 2.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1} \cdot 1}$

Langkah 2.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \frac{2^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Langkah 2.2.1.2.4

Bagilah $2^{i + 0 - (i - 1)}$ dengan $1$ .

$r = 2^{i + 0 - (i - 1)}$

Langkah 2.2.2

Tambahkan $i$ dan $0$ .

$r = 2^{i - (i - 1)}$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Terapkan sifat distributif.

$r = 2^{i - i - - 1}$

Langkah 2.2.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$r = 2^{i - i + 1}$

Langkah 2.2.4

Kurangi $i$ dengan $i$ .

$r = 2^{0 + 1}$

Langkah 2.2.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$r = 2^{1}$

Langkah 2.2.6

Evaluasi eksponennya.

$r = 2$

Langkah 3

Tentukan suku pertama dalam deret dengan mensubstitusikan ke dalam batas bawah dan menyederhanakannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $1$ untuk $i$ ke dalam $2^{i - 1}$ .

$a = 2^{1 - 1}$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$a = 2^{0}$

Langkah 3.2.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$a = 1$

Langkah 4

Substitusikan nilai rasio, suku pertama, dan banyaknya suku ke dalam rumus penjumlahan.

$1 \frac{1 - 2^{11}}{1 - 1 \cdot 2}$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $\frac{1 - 2^{11}}{1 - 1 \cdot 2}$ dengan $1$ .

$\frac{1 - 2^{11}}{1 - 1 \cdot 2}$

Langkah 5.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $11$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 2048}{1 - 1 \cdot 2}$

Langkah 5.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $2048$ .

$\frac{1 - 2048}{1 - 1 \cdot 2}$

Langkah 5.2.3

Kurangi $2048$ dengan $1$ .

$\frac{- 2047}{1 - 1 \cdot 2}$

Langkah 5.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{- 2047}{1 - 2}$

Langkah 5.3.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{- 2047}{- 1}$

Langkah 5.4

Bagilah $- 2047$ dengan $- 1$ .

$2047$