Kalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 27}$ , $x = 3$

Langkah 1

Tentukan turunannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x^{2} + 27}$ sebagai ${(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x^{2} + 27$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} + 27$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Langkah 1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 27$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Langkah 1.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Langkah 1.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Langkah 1.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Langkah 1.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Langkah 1.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Langkah 1.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Langkah 1.7.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Langkah 1.7.3

Pindahkan ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Langkah 1.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 27$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27])$

Langkah 1.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [27])$

Langkah 1.10

Karena $27$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $27$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Langkah 1.11

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.11.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Langkah 1.11.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} x$

Langkah 1.11.3

Gabungkan $\frac{2}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.11.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.11.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f' (3) = \frac{3}{{({(3)}^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (3) = \frac{3}{{(9 + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.2

Tambahkan $9$ dan $27$ .

$f' (3) = \frac{3}{36^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.3

Tulis kembali $36$ sebagai $6^{2}$ .

$f' (3) = \frac{3}{{(6^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.4

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (3) = \frac{3}{6^{2 (\frac{1}{2})}}$

Langkah 3.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (3) = \frac{3}{6^{2 (\frac{1}{2})}}$

Langkah 3.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (3) = \frac{3}{6}$

Langkah 3.6

Evaluasi eksponennya.

$f' (3) = \frac{3}{6}$

Langkah 4

Hapus faktor persekutuan dari $3$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$f' (3) = \frac{3 (1)}{6}$

Langkah 4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$f' (3) = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Langkah 4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (3) = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Langkah 4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (3) = \frac{1}{2}$