Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x^{4} + 3 x^{3} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

Langkah 1

Tentukan di mana pernyataan $\frac{x (x^{3} + 3 x^{2} - 2)}{2 x^{2} + 1}$ tidak terdefinisi.

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 2

Asimtot tegak terjadi pada daerah diskontinuitas tanpa batas.

Tidak Ada Asimtot Tegak

Langkah 3

Mempertimbangkan fungsi rasional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ di mana $n$ merupakan derajat dari pembilangnya dan $m$ merupakan derajat dari penyebutnya.

1. Jika $n < m$ , maka sumbu-x, $y = 0$ , adalah asimtot datar.

2. Jika $n = m$ , maka asimtot datarnya adalah garis $y = \frac{a}{b}$ .

3. Jika $n > m$ , maka tidak ada asimtot datar (ada sebuah asimstot miring).

Langkah 4

Temukan $n$ dan $m$ .

$n = 4$

$m = 2$

Langkah 5

Karena $n > m$ , tidak ada asimtot datar.

Tidak Ada Asimtot Datar

Langkah 6

Tentukan asimtot miring menggunakan pembagian polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Faktorkan $x$ dari $x^{4} + 3 x^{3} - 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Faktorkan $x$ dari $x^{4}$ .

$\frac{x \cdot x^{3} + 3 x^{3} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

Langkah 6.1.2

Faktorkan $x$ dari $3 x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{3} + x (3 x^{2}) - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

Langkah 6.1.3

Faktorkan $x$ dari $- 2 x$ .

$\frac{x \cdot x^{3} + x (3 x^{2}) + x \cdot - 2}{2 x^{2} + 1}$

Langkah 6.1.4

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x^{3} + x (3 x^{2})$ .

$\frac{x (x^{3} + 3 x^{2}) + x \cdot - 2}{2 x^{2} + 1}$

Langkah 6.1.5

Faktorkan $x$ dari $x (x^{3} + 3 x^{2}) + x \cdot - 2$ .

$\frac{x (x^{3} + 3 x^{2} - 2)}{2 x^{2} + 1}$

Langkah 6.2

Perluas $x (x^{3} + 3 x^{2} - 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x (x^{3} + 3 x^{2}) + x \cdot - 2}{2 x^{2} + 1}$

Langkah 6.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x \cdot x^{3} + x (3 x^{2}) + x \cdot - 2}{2 x^{2} + 1}$

Langkah 6.2.3

Hilangkan tanda kurung.

$\frac{x \cdot x^{3} + x \cdot (3 x^{2}) + x \cdot - 2}{2 x^{2} + 1}$

Langkah 6.2.4

Susun kembali $x$ dan $3$ .

$\frac{x \cdot x^{3} + 3 \cdot (x \cdot x^{2}) + x \cdot - 2}{2 x^{2} + 1}$

Langkah 6.2.5

Susun kembali $x$ dan $- 2$ .

$\frac{x \cdot x^{3} + 3 \cdot (x \cdot x^{2}) - 2 \cdot x}{2 x^{2} + 1}$

Langkah 6.2.6

Kalikan $3$ dengan $x$ .

$\frac{x \cdot x^{3} + 3 x \cdot x^{2} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

Langkah 6.2.7

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x \cdot x^{3} + 3 x \cdot x^{2} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

Langkah 6.2.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x^{1 + 3} + 3 x \cdot x^{2} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

Langkah 6.2.9

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$\frac{x^{4} + 3 x \cdot x^{2} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

Langkah 6.2.10

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{4} + 3 (x \cdot x^{2}) - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

Langkah 6.2.11

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x^{4} + 3 x^{1 + 2} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

Langkah 6.2.12

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{3} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

Langkah 6.3

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

Langkah 6.4

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{4}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

Langkah 6.5

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

Langkah 6.6

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{4} + 0 + \frac{x^{2}}{2}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

Langkah 6.7

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

Langkah 6.8

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

Langkah 6.9

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $3 x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{3 x}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

Langkah 6.10

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{3 x}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

$3 x^{3}$

$0$

$\frac{3 x}{2}$

Langkah 6.11

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $3 x^{3} + 0 + \frac{3 x}{2}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{3 x}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

$3 x^{3}$

$0$

$\frac{3 x}{2}$

Langkah 6.12

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{3 x}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

$3 x^{3}$

$0$

$\frac{3 x}{2}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{7 x}{2}$

Langkah 6.13

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{3 x}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

$3 x^{3}$

$0$

$\frac{3 x}{2}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{7 x}{2}$

$0$

Langkah 6.14

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- \frac{x^{2}}{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{3 x}{2}$

$\frac{1}{4}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

$3 x^{3}$

$0$

$\frac{3 x}{2}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{7 x}{2}$

$0$

Langkah 6.15

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

						$\frac{x^{2}}{2}$	+	$\frac{3 x}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{4}$	+	$3 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
					-	$x^{4}$	-	$0$	-	$\frac{x^{2}}{2}$
							+	$3 x^{3}$	-	$\frac{x^{2}}{2}$	-	$2 x$
							-	$3 x^{3}$	-	$0$	-	$\frac{3 x}{2}$
									-	$\frac{x^{2}}{2}$	-	$\frac{7 x}{2}$	+	$0$
									-	$\frac{x^{2}}{2}$	+	$0$	-	$\frac{1}{4}$

Langkah 6.16

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- \frac{x^{2}}{2} + 0 - \frac{1}{4}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{3 x}{2}$

$\frac{1}{4}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

$3 x^{3}$

$0$

$\frac{3 x}{2}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{7 x}{2}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$0$

$\frac{1}{4}$

Langkah 6.17

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{3 x}{2}$

$\frac{1}{4}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

$3 x^{3}$

$0$

$\frac{3 x}{2}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{7 x}{2}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$0$

$\frac{1}{4}$

$\frac{7 x}{2}$

$\frac{1}{4}$

Langkah 6.18

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{3 x}{2} - \frac{1}{4} + \frac{- \frac{7 x}{2} + \frac{1}{4}}{2 x^{2} + 1}$

Langkah 6.19

Asimtot miring adalah bagian polinomial dari hasil pembagian panjang.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{3 x}{2} - \frac{1}{4}$

Langkah 7

Ini adalah himpunan semua asimtot.

Tidak Ada Asimtot Tegak

Tidak Ada Asimtot Datar

Asimtot Miring: $y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{3 x}{2} - \frac{1}{4}$

Langkah 8