Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{10 \ln (x - 1)}{x}$

Langkah 1

Tentukan asimtot.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan di mana pernyataan $\frac{\ln ({(x - 1)}^{10})}{x}$ tidak terdefinisi.

$x = 0, x = 1$

Langkah 1.2

Karena $\frac{\ln ({(x - 1)}^{10})}{x}$ $\to$ $- \infty$ ketika $x$ $\to$ $1$ dari kiri dan $\frac{\ln ({(x - 1)}^{10})}{x}$ $\to$ $- \infty$ ketika $x$ $\to$ $1$ dari kanan, maka $x = 1$ adalah asimtot tegak.

$x = 1$

Langkah 1.3

Dengan mengabaikan logaritma, pertimbangkan fungsi rasional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ di mana $n$ adalah pangkat dari pembilang dan $m$ adalah pangkat dari penyebut.

1. Jika $n < m$ , maka sumbu-x, $y = 0$ , adalah asimtot datar.

2. Jika $n = m$ , maka asimtot datarnya adalah garis $y = \frac{a}{b}$ .

3. Jika $n > m$ , maka tidak ada asimtot datar (ada sebuah asimstot miring).

Langkah 1.4

Temukan $n$ dan $m$ .

$n = 0$

$m = 1$

Langkah 1.5

Karena $n < m$ , sumbu x, $y = 0$ , adalah asimtot datar.

$y = 0$

Langkah 1.6

Tidak ada asimtot miring yang ditunjukkan untuk fungsi logaritma dan trigonometri.

Tidak Ada Asimtot Miring

Langkah 1.7

Ini adalah himpunan semua asimtot.

Asimtot Tegak: $x = 1$

Asimtot Datar: $y = 0$

Asimtot Tegak: $x = 1$

Asimtot Datar: $y = 0$

Langkah 2

Tentukan titik pada $x = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f (2) = \frac{10 \ln ((2) - 1)}{2}$

Langkah 2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $10$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $10 \ln ((2) - 1)$ .

$f (2) = \frac{2 (5 \ln ((2) - 1))}{2}$

Langkah 2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$f (2) = \frac{2 (5 \ln ((2) - 1))}{2 (1)}$

Langkah 2.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (2) = \frac{2 (5 \ln ((2) - 1))}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (2) = \frac{5 \ln ((2) - 1)}{1}$

Langkah 2.2.1.2.4

Bagilah $5 \ln ((2) - 1)$ dengan $1$ .

$f (2) = 5 \ln ((2) - 1)$

Langkah 2.2.2

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$f (2) = 5 \ln (1)$

Langkah 2.2.3

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$f (2) = 5 \cdot 0$

Langkah 2.2.4

Kalikan $5$ dengan $0$ .

$f (2) = 0$

Langkah 2.2.5

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$0$

Langkah 2.3

Konversikan $0$ ke desimal.

$y = 0$

Langkah 3

Tentukan titik pada $x = 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f (3) = \frac{10 \ln ((3) - 1)}{3}$

Langkah 3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan $10 \ln (3 - 1)$ dengan memindahkan $10$ ke dalam logaritma.

$f (3) = \frac{\ln ({(3 - 1)}^{10})}{3}$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Kurangi $1$ dengan $3$ .

$f (3) = \frac{\ln (2^{10})}{3}$

Langkah 3.2.2.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $10$ .

$f (3) = \frac{\ln (1024)}{3}$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali $\frac{\ln (1024)}{3}$ sebagai $\frac{1}{3} \ln (1024)$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot \ln (1024)$

Langkah 3.2.4

Sederhanakan $\frac{1}{3} \ln (1024)$ dengan memindahkan $\frac{1}{3}$ ke dalam logaritma.

$f (3) = \ln (1024^{\frac{1}{3}})$

Langkah 3.2.5

Jawaban akhirnya adalah $\ln (1024^{\frac{1}{3}})$ .

$\ln (1024^{\frac{1}{3}})$

Langkah 3.3

Konversikan $\ln (1024^{\frac{1}{3}})$ ke desimal.

$y = 2.3104906$

Langkah 4

Tentukan titik pada $x = 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ganti variabel $x$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$f (4) = \frac{10 \ln ((4) - 1)}{4}$

Langkah 4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $10$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $10 \ln ((4) - 1)$ .

$f (4) = \frac{2 (5 \ln ((4) - 1))}{4}$

Langkah 4.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$f (4) = \frac{2 (5 \ln ((4) - 1))}{2 (2)}$

Langkah 4.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (4) = \frac{2 (5 \ln ((4) - 1))}{2 \cdot 2}$

Langkah 4.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (4) = \frac{5 \ln ((4) - 1)}{2}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan $5 \ln (4 - 1)$ dengan memindahkan $5$ ke dalam logaritma.

$f (4) = \frac{\ln ({(4 - 1)}^{5})}{2}$

Langkah 4.2.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Kurangi $1$ dengan $4$ .

$f (4) = \frac{\ln (3^{5})}{2}$

Langkah 4.2.3.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $5$ .

$f (4) = \frac{\ln (243)}{2}$

Langkah 4.2.4

Tulis kembali $\frac{\ln (243)}{2}$ sebagai $\frac{1}{2} \ln (243)$ .

$f (4) = \frac{1}{2} \cdot \ln (243)$

Langkah 4.2.5

Sederhanakan $\frac{1}{2} \ln (243)$ dengan memindahkan $\frac{1}{2}$ ke dalam logaritma.

$f (4) = \ln (243^{\frac{1}{2}})$

Langkah 4.2.6

Jawaban akhirnya adalah $\ln (243^{\frac{1}{2}})$ .

$\ln (243^{\frac{1}{2}})$

Langkah 4.3

Konversikan $\ln (243^{\frac{1}{2}})$ ke desimal.

$y = 2.74653072$

Langkah 5

Fungsi logaritma dapat digambarkan menggunakan asismtot tegak pada $x = 1$ dan titik-titik $(2, 0), (3, 2.3104906), (4, 2.74653072)$ .

Asimtot Tegak: $x = 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 0 \\ 3 & 2.31 \\ 4 & 2.747 \end{array}$

Langkah 6