Kalkulus Contoh

$y = \frac{1 + x}{1 - x}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 1 + x$ dan $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 1.2.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(1 - x) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 1.2.5

Kalikan $1 - x$ dengan $1$ .

$\frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 1.2.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1 - x - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 1.2.7

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1 - x - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 1.2.8

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 1.2.9

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 - x - (1 + x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 1.2.10

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.10.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{1 - x + 1 (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 1.2.10.2

Kalikan $1 + x$ dengan $1$ .

$\frac{1 - x + (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 1.2.11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1 - x + (1 + x) \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 1.2.12

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.12.1

Kalikan $1 + x$ dengan $1$ .

$\frac{1 - x + 1 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 1.2.12.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{- x + 2 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 1.2.12.3

Tambahkan $- x$ dan $x$ .

$\frac{0 + 2}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 1.2.12.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.12.4.1

Tambahkan $0$ dan $2$ .

$\frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 1.2.12.4.2

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = \frac{2}{{(- x + 1)}^{2}}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{2}{{(- x + 1)}^{2}}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}]$

Langkah 2.1.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Tulis kembali $\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$ sebagai ${({(- x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{({(- x + 1)}^{2})}^{- 1}]$

Langkah 2.1.2.2

Kalikan eksponen dalam ${({(- x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{2 \cdot - 1}]$

Langkah 2.1.2.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{- 2}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 2}$ dan $g (x) = - x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- x + 1$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 2$ .

$2 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x + 1$ .

$2 (- 2 {(- x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Langkah 2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$- 4 ({(- x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 2.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 2.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (- 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 2.3.6

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (- 1 + 0)$

Langkah 2.3.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1

Tambahkan $- 1$ dan $0$ .

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} \cdot - 1$

Langkah 2.3.7.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$4 {(- x + 1)}^{- 3}$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}$

Langkah 2.4.2

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{{(- x + 1)}^{3}}$

Langkah 3

Tentukan turunan ketiganya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{4}{{(- x + 1)}^{3}}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}]$

Langkah 3.1.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Tulis kembali $\frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}$ sebagai ${({(- x + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{({(- x + 1)}^{3})}^{- 1}]$

Langkah 3.1.2.2

Kalikan eksponen dalam ${({(- x + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{3 \cdot - 1}]$

Langkah 3.1.2.2.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{- 3}]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 3}$ dan $g (x) = - x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- x + 1$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 3$ .

$4 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x + 1$ .

$4 (- 3 {(- x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Langkah 3.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kalikan $- 3$ dengan $4$ .

$- 12 ({(- x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Langkah 3.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 3.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 3.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 3.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (- 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 3.3.6

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (- 1 + 0)$

Langkah 3.3.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.7.1

Tambahkan $- 1$ dan $0$ .

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} \cdot - 1$

Langkah 3.3.7.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 12$ .

$12 {(- x + 1)}^{- 4}$

Langkah 3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 \frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}$

Langkah 3.4.2

Gabungkan $12$ dan $\frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{12}{{(- x + 1)}^{4}}$

Langkah 4

Cari turunan keempat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{12}{{(- x + 1)}^{4}}$ terhadap $x$ adalah $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}]$

Langkah 4.1.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Tulis kembali $\frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}$ sebagai ${({(- x + 1)}^{4})}^{- 1}$ .

$12 \frac{d}{d x} [{({(- x + 1)}^{4})}^{- 1}]$

Langkah 4.1.2.2

Kalikan eksponen dalam ${({(- x + 1)}^{4})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{4 \cdot - 1}]$

Langkah 4.1.2.2.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$12 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{- 4}]$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 4}$ dan $g (x) = - x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- x + 1$ .

$12 (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Langkah 4.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 4$ .

$12 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Langkah 4.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x + 1$ .

$12 (- 4 {(- x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Langkah 4.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kalikan $- 4$ dengan $12$ .

$- 48 ({(- x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Langkah 4.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 4.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 4.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 4.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (- 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 4.3.6

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (- 1 + 0)$

Langkah 4.3.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.1

Tambahkan $- 1$ dan $0$ .

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} \cdot - 1$

Langkah 4.3.7.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 48$ .

$48 {(- x + 1)}^{- 5}$

Langkah 4.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$48 \frac{1}{{(- x + 1)}^{5}}$

Langkah 4.4.2

Gabungkan $48$ dan $\frac{1}{{(- x + 1)}^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{48}{{(- x + 1)}^{5}}$