Kalkulus Contoh

$y = \ln (\sqrt{x})$

Langkah 1

Tentukan domain untuk $y = \ln (\sqrt{x})$ sehingga daftar nilai $x$ dapat diambil untuk mancari daftar titik, yang akan membantu membuat grafik akarnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Atur argumen dalam $\ln (\sqrt{x})$ agar lebih besar dari $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$\sqrt{x} > 0$

Langkah 1.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menghapus akar pada sisi kiri pertidaksamaan, kuadratkan kedua sisi pertidaksamaan.

${\sqrt{x}}^{2} > 0^{2}$

Langkah 1.2.2

Sederhanakan masing-masing sisi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Langkah 1.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1

Sederhanakan ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Langkah 1.2.2.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Langkah 1.2.2.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{1} > 0^{2}$

Langkah 1.2.2.2.1.2

Sederhanakan.

$x > 0^{2}$

Langkah 1.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$x > 0$

Langkah 1.2.3

Tentukan domain dari $\sqrt{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{x}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$x \geq 0$

Langkah 1.2.3.2

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$[0, \infty)$

Langkah 1.2.4

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$x > 0$

Langkah 1.3

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{x}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$x \geq 0$

Langkah 1.4

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x > 0}$

Notasi Interval:

$(0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x > 0}$

Langkah 2

Untuk menentukan titik akhir pernyataan akarnya, substitusikan nilai $x$ $0$ , yang merupakan nilai terkecil dalam domain tersebut, ke dalam $f (x) = \ln (\sqrt{x})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = \ln (\sqrt{0})$

Langkah 2.2

Hilangkan tanda kurung.

$f (0) = \ln (\sqrt{0})$

Langkah 2.3

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$f (0) = \ln (\sqrt{0^{2}})$

Langkah 2.4

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$f (0) = \ln (0)$

Langkah 2.5

Log alami dari nol tidak terdefinisi.

$f (0) = Undefined$

Tidak terdefinisi

Langkah 3

Titik akhir pernyataan akarnya adalah $(0, Undefined)$ .

$(0, Undefined)$

Langkah 4

Pilih beberapa nilai $x$ dari domain. Ini akan lebih berguna untuk memilih nilai-nilainya sehingga berada di sebelah nilai $x$ dari titik akhir pernyataan bentuk akar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan nilai $x$ $1$ ke dalam $f (x) = \ln (\sqrt{x})$ . Dalam hal ini, titiknya adalah $(1, 0)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = \ln (\sqrt{1})$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$f (1) = \ln (\sqrt{1})$

Langkah 4.1.2.2

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$f (1) = \ln (1)$

Langkah 4.1.2.3

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$f (1) = 0$

Langkah 4.1.2.4

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$y = 0$

Langkah 4.2

Substitusikan nilai $x$ $2$ ke dalam $f (x) = \ln (\sqrt{x})$ . Dalam hal ini, titiknya adalah $(2, \ln (\sqrt{2}))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f (2) = \ln (\sqrt{2})$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$f (2) = \ln (\sqrt{2})$

Langkah 4.2.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\ln (\sqrt{2})$ .

$y = \ln (\sqrt{2})$

Langkah 4.3

Akar kuadrat dapat digambarkan dengan grafik menggunakan titik-titik di sekitar verteks $(0, Undefined), (1, 0), (2, 0.35)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & Undefined \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.35 \end{array}$

Langkah 5