Kalkulus Contoh

$y = x \sqrt{5 - x^{2}}$

Langkah 1

Tentukan domain untuk $y = x \sqrt{5 - x^{2}}$ sehingga daftar nilai $x$ dapat diambil untuk mancari daftar titik, yang akan membantu membuat grafik akarnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{5 - x^{2}}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$5 - x^{2} \geq 0$

Langkah 1.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Kurangkan $5$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$- x^{2} \geq - 5$

Langkah 1.2.2

Bagi setiap suku pada $- x^{2} \geq - 5$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Bagi setiap suku dalam $- x^{2} \geq - 5$ dengan $- 1$ . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 5}{- 1}$

Langkah 1.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 5}{- 1}$

Langkah 1.2.2.2.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 5}{- 1}$

Langkah 1.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.3.1

Bagilah $- 5$ dengan $- 1$ .

$x^{2} \leq 5$

Langkah 1.2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{5}$

Langkah 1.2.4

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$| x | \leq \sqrt{5}$

Langkah 1.2.5

Tulis $| x | \leq \sqrt{5}$ sebagai fungsi sesepenggal.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Untuk mencari interval bagian pertama, tentukan di mana bagian dalam dari nilai mutlaknya tidak negatif.

$x \geq 0$

Langkah 1.2.5.2

Pada bagian di mana $x$ non-negatif, hapus nilai mutlaknya.

$x \leq \sqrt{5}$

Langkah 1.2.5.3

Untuk mencari interval bagian kedua, tentukan di mana bagian dalam dari nilai mutlaknya negatif.

$x < 0$

Langkah 1.2.5.4

Pada bagian di mana $x$ negatif, hapus nilai mutlaknya dan kalikan dengan $- 1$ .

$- x \leq \sqrt{5}$

Langkah 1.2.5.5

Tulis sebagai fungsi sesepenggal.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{5} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{5} & x < 0 \end{cases}$

Langkah 1.2.6

Tentukan irisan dari $x \leq \sqrt{5}$ dan $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{5}$

Langkah 1.2.7

Selesaikan $- x \leq \sqrt{5}$ ketika $x < 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.1

Bagi setiap suku pada $- x \leq \sqrt{5}$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.1.1

Bagi setiap suku dalam $- x \leq \sqrt{5}$ dengan $- 1$ . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Langkah 1.2.7.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.1.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Langkah 1.2.7.1.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Langkah 1.2.7.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.1.3.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{\sqrt{5}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{5}$

Langkah 1.2.7.1.3.2

Tulis kembali $- 1 \cdot \sqrt{5}$ sebagai $- \sqrt{5}$ .

$x \geq - \sqrt{5}$

Langkah 1.2.7.2

Tentukan irisan dari $x \geq - \sqrt{5}$ dan $x < 0$ .

$- \sqrt{5} \leq x < 0$

Langkah 1.2.8

Tentukan gabungan dari penyelesaian-penyelesaiannya.

$- \sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{5}$

Langkah 1.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$[- \sqrt{5}, \sqrt{5}]$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | - \sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{5}}$

Notasi Interval:

$[- \sqrt{5}, \sqrt{5}]$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | - \sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{5}}$

Langkah 2

Untuk menentukan titik-titik akhir, substitusikan batas-batas nilai $x$ dari domain ke dalam $f (x) = x \sqrt{5 - x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Ganti variabel $x$ dengan $- \sqrt{5}$ pada pernyataan tersebut.

$f (- \sqrt{5}) = (- \sqrt{5}) \sqrt{5 - {(- \sqrt{5})}^{2}}$

Langkah 2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \sqrt{5}$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \sqrt{5} \sqrt{5 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{5}}^{2})}$

Langkah 2.2.2

Kalikan $- 1$ dengan ${(- 1)}^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Pindahkan ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \sqrt{5} \sqrt{5 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 {\sqrt{5}}^{2})}$

Langkah 2.2.2.2

Kalikan ${(- 1)}^{2}$ dengan $- 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $1$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \sqrt{5} \sqrt{5 + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) {\sqrt{5}}^{2})}$

Langkah 2.2.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f (- \sqrt{5}) = - \sqrt{5} \sqrt{5 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{5}}^{2}}$

Langkah 2.2.2.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \sqrt{5} \sqrt{5 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{5}}^{2}}$

Langkah 2.2.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \sqrt{5} \sqrt{5 - {\sqrt{5}}^{2}}$

Langkah 2.2.4

Tulis kembali ${\sqrt{5}}^{2}$ sebagai $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{5}$ sebagai $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \sqrt{5} \sqrt{5 - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 2.2.4.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \sqrt{5} \sqrt{5 - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 2.2.4.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \sqrt{5} \sqrt{5 - 5^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 2.2.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (- \sqrt{5}) = - \sqrt{5} \sqrt{5 - 5^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 2.2.4.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (- \sqrt{5}) = - \sqrt{5} \sqrt{5 - 5}$

Langkah 2.2.4.5

Evaluasi eksponennya.

$f (- \sqrt{5}) = - \sqrt{5} \sqrt{5 - 1 \cdot 5}$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \sqrt{5} \sqrt{5 - 5}$

Langkah 2.2.5.2

Kurangi $5$ dengan $5$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \sqrt{5} \sqrt{0}$

Langkah 2.2.5.3

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \sqrt{5} \sqrt{0^{2}}$

Langkah 2.2.5.4

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$f (- \sqrt{5}) = - \sqrt{5} \cdot 0$

Langkah 2.2.6

Kalikan $- \sqrt{5} \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.6.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$f (- \sqrt{5}) = 0 \sqrt{5}$

Langkah 2.2.6.2

Kalikan $0$ dengan $\sqrt{5}$ .

$f (- \sqrt{5}) = 0$

Langkah 2.2.7

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$0$

Langkah 2.3

Ganti variabel $x$ dengan $\sqrt{5}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\sqrt{5}) = (\sqrt{5}) \sqrt{5 - {(\sqrt{5})}^{2}}$

Langkah 2.4

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$f (\sqrt{5}) = \sqrt{5 (5 - {(\sqrt{5})}^{2})}$

Langkah 2.4.2

Tulis kembali ${\sqrt{5}}^{2}$ sebagai $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{5}$ sebagai $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{5}) = \sqrt{5 (5 - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Langkah 2.4.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{5}) = \sqrt{5 (5 - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Langkah 2.4.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$f (\sqrt{5}) = \sqrt{5 (5 - 5^{\frac{2}{2}})}$

Langkah 2.4.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\sqrt{5}) = \sqrt{5 (5 - 5^{\frac{2}{2}})}$

Langkah 2.4.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\sqrt{5}) = \sqrt{5 (5 - 5)}$

Langkah 2.4.2.5

Evaluasi eksponennya.

$f (\sqrt{5}) = \sqrt{5 (5 - 1 \cdot 5)}$

Langkah 2.4.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$f (\sqrt{5}) = \sqrt{5 (5 - 5)}$

Langkah 2.4.3.2

Kurangi $5$ dengan $5$ .

$f (\sqrt{5}) = \sqrt{5 \cdot 0}$

Langkah 2.4.3.3

Kalikan $5$ dengan $0$ .

$f (\sqrt{5}) = \sqrt{0}$

Langkah 2.4.3.4

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$f (\sqrt{5}) = \sqrt{0^{2}}$

Langkah 2.4.3.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$f (\sqrt{5}) = 0$

Langkah 2.4.4

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$0$

Langkah 3

Titik-titik akhirnya adalah $(- \sqrt{5}, 0), (\sqrt{5}, 0)$ .

$(- \sqrt{5}, 0), (\sqrt{5}, 0)$

Langkah 4

Akar kuadrat dapat digambarkan dengan grafik menggunakan titik-titik di sekitar verteks $(- \sqrt{5}, 0), (\sqrt{5}, 0),$

$\begin{array}{c} x & y \\ - \sqrt{5} & 0 \\ \sqrt{5} & 0 \end{array}$

Langkah 5