Kalkulus Contoh

$2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{\frac{2}{3}}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$2 + 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{2}{3}$ .

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Langkah 1.1.3.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Langkah 1.1.3.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Langkah 1.1.3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Langkah 1.1.3.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Langkah 1.1.3.6.2

Kurangi $3$ dengan $2$ .

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Langkah 1.1.3.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Langkah 1.1.3.8

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$2 + 3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 1.1.3.9

Gabungkan $3$ dan $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$2 + \frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Langkah 1.1.3.10

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$2 + \frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 1.1.3.11

Pindahkan $x^{- \frac{1}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + \frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 1.1.3.12

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$2 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 1.1.3.13

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.13.1

Faktorkan $3$ dari $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 + \frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

Langkah 1.1.3.13.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 1.1.3.13.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (x) = 2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Langkah 2.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = - 2$

Langkah 2.3

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$x^{\frac{1}{3}}, 1$

Langkah 2.3.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$x^{\frac{1}{3}}$

Langkah 2.4

Kalikan setiap suku pada $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = - 2$ dengan $x^{\frac{1}{3}}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Kalikan setiap suku dalam $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = - 2$ dengan $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 x^{\frac{1}{3}}$

Langkah 2.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{\frac{1}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 x^{\frac{1}{3}}$

Langkah 2.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 = - 2 x^{\frac{1}{3}}$

Langkah 2.5

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- 2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ .

$- 2 x^{\frac{1}{3}} = 2$

Langkah 2.5.2

Bagi setiap suku pada $- 2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ dengan $- 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Bagilah setiap suku di $- 2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{3}}}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

Langkah 2.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{3}}}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

Langkah 2.5.2.2.2

Bagilah $x^{\frac{1}{3}}$ dengan $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{- 2}$

Langkah 2.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.3.1

Bagilah $2$ dengan $- 2$ .

$x^{\frac{1}{3}} = - 1$

Langkah 2.5.3

Pangkatkan setiap sisi persamaan dengan pangkat $3$ untuk menghilangkan eksponen pecahan di sisi kiri.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Langkah 2.5.4

Sederhanakan bentuk eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.1.1

Sederhanakan ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.1.1.1

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.1.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Langkah 2.5.4.1.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.1.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Langkah 2.5.4.1.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{1} = {(- 1)}^{3}$

Langkah 2.5.4.1.1.2

Sederhanakan.

$x = {(- 1)}^{3}$

Langkah 2.5.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.2.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$x = - 1$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Ubah persamaan dengan eksponen pecahan menjadi akar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$2 + \frac{2}{\sqrt[3]{x^{1}}}$

Langkah 3.1.2

Apa pun yang dipangkatkan ke $1$ sama dengan bilangan pokok itu sendiri.

$2 + \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$

Langkah 3.2

Atur penyebut dalam $\frac{2}{\sqrt[3]{x}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$\sqrt[3]{x} = 0$

Langkah 3.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Untuk menghilangkan akar pada sisi kiri persamaan, pangkatkan tiga kedua sisi persamaan.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Sederhanakan ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{1} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.2.1.2

Sederhanakan.

$x = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$x = 0$

Langkah 4

Evaluasi $2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $- 1$ untuk $x$ .

$2 (- 1) + 3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 + 3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Langkah 4.1.2.1.2

Tulis kembali $- 1$ sebagai ${(- 1)}^{3}$ .

$- 2 + 3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Langkah 4.1.2.1.3

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 + 3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Langkah 4.1.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 2 + 3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Langkah 4.1.2.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 + 3 {(- 1)}^{2}$

Langkah 4.1.2.1.5

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$- 2 + 3 \cdot 1$

Langkah 4.1.2.1.6

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$- 2 + 3$

Langkah 4.1.2.2

Tambahkan $- 2$ dan $3$ .

$1$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$2 (0) + 3 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$0 + 3 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Langkah 4.2.2.1.2

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

$0 + 3 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Langkah 4.2.2.1.3

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + 3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Langkah 4.2.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$0 + 3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Langkah 4.2.2.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$0 + 3 \cdot 0^{2}$

Langkah 4.2.2.1.5

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$0 + 3 \cdot 0$

Langkah 4.2.2.1.6

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$0 + 0$

Langkah 4.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$0$

Langkah 4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(- 1, 1), (0, 0)$

Langkah 5