Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{t} + t^{2}}{9 t - t^{2}}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari $\frac{\sqrt{t} + t^{2}}{9 t - t^{2}}$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{\sqrt{t} + t^{2}}{9 t - t^{2}}$

Langkah 2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{t}$ sebagai $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} + t^{2}}{9 t - t^{2}}$

Langkah 2.1.2

Faktorkan $t^{\frac{1}{2}}$ dari $t^{\frac{1}{2}} + t^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{2}}{9 t - t^{2}}$

Langkah 2.1.2.2

Faktorkan $t^{\frac{1}{2}}$ dari $t^{2}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{3}{2}}}{9 t - t^{2}}$

Langkah 2.1.2.3

Faktorkan $t^{\frac{1}{2}}$ dari $t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{3}{2}})}{9 t - t^{2}}$

Langkah 2.1.3

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{3}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1^{3} + t^{\frac{3}{2}})}{9 t - t^{2}}$

Langkah 2.1.4

Tulis kembali $t^{\frac{3}{2}}$ sebagai ${(t^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1^{3} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{3})}{9 t - t^{2}}$

Langkah 2.1.5

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus penjumlahan pangkat tiga. $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ di mana $a = 1$ dan $b = t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1^{2} - 1 t^{\frac{1}{2}} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}))}{9 t - t^{2}}$

Langkah 2.1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.6.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - 1 t^{\frac{1}{2}} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}))}{9 t - t^{2}}$

Langkah 2.1.6.2

Tulis kembali $- 1 t^{\frac{1}{2}}$ sebagai $- t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}))}{9 t - t^{2}}$

Langkah 2.1.6.3

Kalikan eksponen dalam ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.6.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2} \cdot 2}))}{9 t - t^{2}}$

Langkah 2.1.6.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.6.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2} \cdot 2}))}{9 t - t^{2}}$

Langkah 2.1.6.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t^{1}))}{9 t - t^{2}}$

Langkah 2.1.6.4

Sederhanakan.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t))}{9 t - t^{2}}$

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{9 t - t^{2}}$

Langkah 2.2

Faktorkan $t$ dari $9 t - t^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $t$ dari $9 t$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t \cdot 9 - t^{2}}$

Langkah 2.2.2

Faktorkan $t$ dari $- t^{2}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t \cdot 9 + t (- t)}$

Langkah 2.2.3

Faktorkan $t$ dari $t \cdot 9 + t (- t)$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t (9 - t)}$

Langkah 2.3

Pindahkan $t^{\frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t (9 - t) t^{- \frac{1}{2}}}$

Langkah 2.4

Kalikan $t$ dengan $t^{- \frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Pindahkan $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2}} t (9 - t)}$

Langkah 2.4.2

Kalikan $t^{- \frac{1}{2}}$ dengan $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2}} t^{1} (9 - t)}$

Langkah 2.4.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2} + 1} (9 - t)}$

Langkah 2.4.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (9 - t)}$

Langkah 2.4.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{\frac{- 1 + 2}{2}} (9 - t)}$

Langkah 2.4.5

Tambahkan $- 1$ dan $2$ .

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{\frac{1}{2}} (9 - t)}$