Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 8} x \tan (\frac{π}{x})$

Langkah 1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Kali Limit pada limit ketika $x$ mendekati $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \tan (\frac{π}{x})$

Langkah 2

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena tangen kontinu.

$lim_{x \to 8} x \cdot \tan (lim_{x \to 8} \frac{π}{x})$

Langkah 3

Pindahkan suku $π$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \tan (π lim_{x \to 8} \frac{1}{x})$

Langkah 4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \tan (π \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x})$

Langkah 5

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \tan (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Langkah 6

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $8$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $8$ ke dalam (Variabel2).

$8 \cdot \tan (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Langkah 6.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $8$ ke dalam (Variabel2).

$8 \cdot \tan (π \frac{1}{8})$

Langkah 7

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{1}{8}$ .

$8 \cdot \tan (\frac{π}{8})$

Langkah 7.2

Nilai eksak dari $\tan (\frac{π}{8})$ adalah $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Tulis kembali $\frac{π}{8}$ sebagai sebuah sudut di mana nilai dari enam fungsi trigonometrinya yang diketahui dibagi dengan $2$ .

$8 \cdot \tan (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Langkah 7.2.2

Terapkan identitas setengah sudut tangen.

$8 \cdot (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}})$

Langkah 7.2.3

Ubah $\pm$ menjadi $+$ karena tangen positif pada kuadran pertama.

$8 \cdot \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

Langkah 7.2.4

Sederhanakan $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.4.1

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

Langkah 7.2.4.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

Langkah 7.2.4.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

Langkah 7.2.4.4

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Langkah 7.2.4.5

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Langkah 7.2.4.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Langkah 7.2.4.7

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}$

Langkah 7.2.4.8

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.4.8.1

Batalkan faktor persekutuan.

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}$

Langkah 7.2.4.8.2

Tulis kembali pernyataannya.

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}$

Langkah 7.2.4.9

Kalikan $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ dengan $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}$

Langkah 7.2.4.10

Kalikan $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ dengan $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}$

Langkah 7.2.4.11

Perluas penyebut menggunakan metode FOIL.

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}$

Langkah 7.2.4.12

Sederhanakan.

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Langkah 7.2.4.13

Terapkan sifat distributif.

$8 \cdot \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Langkah 7.2.4.14

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.4.14.1

Batalkan faktor persekutuan.

$8 \cdot \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Langkah 7.2.4.14.2

Tulis kembali pernyataannya.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Langkah 7.2.4.15

Gabungkan $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ dan $\sqrt{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Langkah 7.2.4.16

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.4.16.1

Terapkan sifat distributif.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Langkah 7.2.4.16.2

Kalikan $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.4.16.2.1

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2}}$

Langkah 7.2.4.16.2.2

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2}}$

Langkah 7.2.4.16.2.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}}$

Langkah 7.2.4.16.2.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{2}}$

Langkah 7.2.4.16.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.4.16.3.1

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.4.16.3.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}}$

Langkah 7.2.4.16.3.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}}$

Langkah 7.2.4.16.3.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}$

Langkah 7.2.4.16.3.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.4.16.3.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}$

Langkah 7.2.4.16.3.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{1}}{2}}$

Langkah 7.2.4.16.3.1.5

Evaluasi eksponennya.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}}$

Langkah 7.2.4.16.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}}$

Langkah 7.2.4.16.4

Hapus faktor persekutuan dari $2 \sqrt{2} - 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.4.16.4.1

Faktorkan $2$ dari $2 \sqrt{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) - 2}{2}}$

Langkah 7.2.4.16.4.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot - 1}{2}}$

Langkah 7.2.4.16.4.3

Faktorkan $2$ dari $2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2}}$

Langkah 7.2.4.16.4.4

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.4.16.4.4.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (1)}}$

Langkah 7.2.4.16.4.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot 1}}$

Langkah 7.2.4.16.4.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{1}}$

Langkah 7.2.4.16.4.4.4

Bagilah $\sqrt{2} - 1$ dengan $1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)}$

Langkah 7.2.4.16.5

Terapkan sifat distributif.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - - 1}$

Langkah 7.2.4.16.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1}$

Langkah 7.2.4.17

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$8 \cdot \sqrt{3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}}$

Langkah 7.2.4.18

Kurangi $\sqrt{2}$ dengan $- \sqrt{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

$8 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

Langkah 8

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$8 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

Bentuk Desimal:

$3.31370849 \dots$