Kalkulus Contoh

$y^{2} (y^{2} - 4) = x^{2} (x^{2} - 5)$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y^{2} (y^{2} - 4)) = \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} - 5))$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = y^{2}$ dan $g (x) = y^{2} - 4$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [y^{2} - 4] + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{2} - 4$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$y^{2} (\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $y$ .

$y^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$y^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y$ .

$y^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$y^{2} (2 y y' + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.5

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$y^{2} (2 y y' + 0) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.6

Tambahkan $2 y y'$ dan $0$ .

$y^{2} (2 y y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.7

Kalikan $y^{2}$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Pindahkan $y$ .

$y \cdot y^{2} (2 y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.7.2

Kalikan $y$ dengan $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$y^{1} y^{2} (2 y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.7.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y^{1 + 2} (2 y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.7.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$y^{3} (2 y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.8

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $y$ .

$y^{3} (2 y') + (y^{2} - 4) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.8.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$y^{3} (2 y') + (y^{2} - 4) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.8.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $y$ .

$y^{3} (2 y') + (y^{2} - 4) (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.9

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y^{2} - 4$ .

$y^{3} (2 y') + 2 \cdot (y^{2} - 4) y \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.10

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$y^{3} (2 y') + 2 (y^{2} - 4) y y'$

Langkah 2.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.1

Terapkan sifat distributif.

$y^{3} (2 y') + (2 y^{2} + 2 \cdot - 4) y y'$

Langkah 2.11.2

Terapkan sifat distributif.

$y^{3} (2 y') + (2 y^{2} y + 2 \cdot - 4 y) y'$

Langkah 2.11.3

Terapkan sifat distributif.

$y^{3} (2 y') + 2 y^{2} y y' + 2 \cdot - 4 y y'$

Langkah 2.11.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.4.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$y^{3} (2 y') + 2 (y^{1} y^{2}) y' + 2 \cdot - 4 y y'$

Langkah 2.11.4.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y^{3} (2 y') + 2 y^{1 + 2} y' + 2 \cdot - 4 y y'$

Langkah 2.11.4.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$y^{3} (2 y') + 2 y^{3} y' + 2 \cdot - 4 y y'$

Langkah 2.11.4.4

Kalikan $2$ dengan $- 4$ .

$y^{3} (2 y') + 2 y^{3} y' - 8 y y'$

Langkah 2.11.4.5

Tambahkan $y^{3} (2 y')$ dan $2 y^{3} y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.4.5.1

Susun kembali $y^{3}$ dan $2$ .

$2 \cdot y^{3} y' + 2 y^{3} y' - 8 y y'$

Langkah 2.11.4.5.2

Tambahkan $2 \cdot y^{3} y'$ dan $2 y^{3} y'$ .

$4 y^{3} y' - 8 y y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = x^{2} - 5$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5] + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 5$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.2.3

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$x^{2} (2 x + 0) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.2.4

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$x^{2} (2 x) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Pindahkan $x$ .

$x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.3.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$x^{1} x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x^{1 + 2} \cdot 2 + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.3.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$x^{3} \cdot 2 + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{3}$ .

$2 \cdot x^{3} + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x^{3} + (x^{2} - 5) (2 x)$

Langkah 3.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{2} - 5$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot (x^{2} - 5) x$

Langkah 3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Terapkan sifat distributif.

$2 x^{3} + (2 x^{2} + 2 \cdot - 5) x$

Langkah 3.7.2

Terapkan sifat distributif.

$2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 5 x$

Langkah 3.7.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.3.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$2 x^{3} + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 5 x$

Langkah 3.7.3.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 5 x$

Langkah 3.7.3.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot - 5 x$

Langkah 3.7.3.4

Kalikan $2$ dengan $- 5$ .

$2 x^{3} + 2 x^{3} - 10 x$

Langkah 3.7.3.5

Tambahkan $2 x^{3}$ dan $2 x^{3}$ .

$4 x^{3} - 10 x$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$4 y^{3} y' - 8 y y' = 4 x^{3} - 10 x$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Faktorkan $4 y y'$ dari $4 y^{3} y' - 8 y y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Faktorkan $4 y y'$ dari $4 y^{3} y'$ .

$4 y y' y^{2} - 8 y y' = 4 x^{3} - 10 x$

Langkah 5.1.2

Faktorkan $4 y y'$ dari $- 8 y y'$ .

$4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot - 2 = 4 x^{3} - 10 x$

Langkah 5.1.3

Faktorkan $4 y y'$ dari $4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot - 2$ .

$4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 10 x$

Langkah 5.2

Bagi setiap suku pada $4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 10 x$ dengan $4 y (y^{2} - 2)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Bagilah setiap suku di $4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 10 x$ dengan $4 y (y^{2} - 2)$ .

$\frac{4 y y' (y^{2} - 2)}{4 y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 y y' (y^{2} - 2)}{4 y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Langkah 5.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y y' (y^{2} - 2)}{y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Langkah 5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y y' (y^{2} - 2)}{y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Langkah 5.2.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (y^{2} - 2)}{y^{2} - 2} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Langkah 5.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2} - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (y^{2} - 2)}{y^{2} - 2} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Langkah 5.2.2.3.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Langkah 5.2.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Langkah 5.2.3.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 10$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 10 x$ .

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 5 x)}{4 y (y^{2} - 2)}$

Langkah 5.2.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $4 y (y^{2} - 2)$ .

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 5 x)}{2 (2 y (y^{2} - 2))}$

Langkah 5.2.3.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 5 x)}{2 (2 y (y^{2} - 2))}$

Langkah 5.2.3.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{- 5 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

Langkah 5.2.3.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} - \frac{5 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} - \frac{5 x}{2 y (y^{2} - 2)}$